A Borcherds Product in S

A Borcherds Product in S₉(K(16))⁻

(Filename: BP-9-16-1-0-9.html)

properties | c vector | θ vector | ψ expansion | Borch(ψ) coefficients

PROPERTIES OF ψ AND BORCH(ψ)

We will define a weakly holomorphic Jacobi form ψ of weight 0 and index 16, such that it and its Borcherds lift Borch(ψ) have the following list of properties.

The singular part of ψ truncated up to q^(16/4) is
(18 + ζ^(-4) + ζ^(-3) + 2/ζ^2 - ζ^(-1) - ζ + 2*ζ^2 + ζ^3 + ζ^4)
+q(ζ^(-9) + 6/ζ^8 + 6*ζ^8 + ζ^9)
+q^2(ζ^(-12) + ζ^12)
+q^3(6/ζ^14 + 6*ζ^14)
+q^4(10/ζ^16 + 10*ζ^16)
From the truncated singular part of ψ, the leading Jacobi coefficient of Borch(ψ) is the theta block
φ = TB(9;−1,2,2,3,4)

= 1⁻¹2²3¹4¹

= η(τ)¹⁸(θ(τ,z)/η(τ))⁻¹(θ(τ,2z)/η(τ))²(θ(τ,3z)/η(τ))(θ(τ,4z)/η(τ))
This theta block has q-order of vanishing 1. This theta block has index 1*16, and so Borch(ψ) begins with Jacobi coefficient #1.
From the truncated singular part of ψ, we compute that Borch(ψ) is a symmetric form, and so the Fricke sign of Borch(ψ) is −1.
We need to check that certain Fourier coefficients of Borch(ψ) are zero to determine that Borch(ψ) is a cusp form. For this weight and level and Fricke sign, an expansion of Borch(ψ) to 4 Fourier-Jacobi coefficients was needed to show that Borch(ψ) is a cusp form.
From the truncated singular part of ψ, we can compute that all Humbert divisors of Borch(ψ) have nonnegative multiplicities, and hence Borch(ψ) is holomorphic.
(D,r) multiplicity of Hum(D,r)
(1,1) 3

(4,2) 3

(4,14) 7

(9,3) 1

(16,4) 1

(16,12) 1

(17,9) 1
From the singular part above, we compute that the valuation Ord(ψ) is -0.265625, and hence we need to multiply ψ by Δ^1 to get a Jacobi cusp form. The definition of ψ is
ψ = c · θ/ Δ^1.
Here c is a vector of coefficients, θ is a basis of of J_12,16^cusp, and Δ is the weight 12 elliptic cusp form. Both c and θ will be given in tables.

(D,r)	multiplicity of Hum(D,r)
(1,1)	3
(4,2)	3
(4,14)	7
(9,3)	1
(16,4)	1
(16,12)	1
(17,9)	1

THE VECTOR c (return to top)

The vector c has components given by the following table.

c₁	-4133716070138329/6080693297987309580
c₂	2520885257332180271/2955216942821832455880
c₃	-2011797477068756925983/1256706004934984251862970
c₄	253377173274236397859/69817000274165791770165
c₅	262571562463294689133/69817000274165791770165
c₆	2133577832013596980271/1256706004934984251862970
c₇	2011797477068756925983/1256706004934984251862970
c₈	-215192917573626029/3324619060674561512865
c₉	-3314127475147762013/29921571546071053615785
c₁₀	-5620502846131336589/19947714364047369077190
c₁₁	1193933152930738/73880423570545811397
c₁₂	38804307364131822296/89764714638213160847355

THE VECTOR θ (return to top)

The basis of J_12,16^cusp (with dimension 12) is given by the following theta blocks possibly with index lowering operators denoted by W.

θ₁	TB(12;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,3,3,4)\|W_2
θ₂	TB(12;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3)\|W_2
θ₃	TB(12;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,8)\|W_3
θ₄	TB(12;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,4,7)\|W_3
θ₅	TB(12;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,4,4,4,5)\|W_3
θ₆	TB(12;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,3,3,3,4,4,4)\|W_3
θ₇	TB(12;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,7)\|W_3
θ₈	TB(12;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,5,5)\|W_3
θ₉	TB(12;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,3,3,3,3,3,3,4)\|W_3
θ₁₀	TB(12;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3)\|W_3
θ₁₁	TB(12;1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,5)\|W_3
θ₁₂	TB(12;1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3)\|W_3

EXPANSION OF ψ (return to top)

The expansion of ψ up to q^(16/4) is

(18 + ζ^(-4) + ζ^(-3) + 2/ζ^2 - ζ^(-1) - ζ + 2*ζ^2 + ζ^3 + ζ^4)
+q(196 + ζ^(-9) + 6/ζ^8 + 11/ζ^7 - 14/ζ^6 - 25/ζ^5 - 40/ζ^4 + 23/ζ^3 - 50/ζ^2 - 10/ζ - 10*ζ - 50*ζ^2 + 23*ζ^3 - 40*ζ^4 - 25*ζ^5 - 14*ζ^6 + 11*ζ^7 + 6*ζ^8 + ζ^9)
+q^2(1400 + ζ^(-12) + 8/ζ^11 + 6/ζ^10 - 30/ζ^9 + 100/ζ^8 + 112/ζ^7 - 92/ζ^6 - 233/ζ^5 - 289/ζ^4 + 231/ζ^3 - 426/ζ^2 - 88/ζ - 88*ζ - 426*ζ^2 + 231*ζ^3 - 289*ζ^4 - 233*ζ^5 - 92*ζ^6 + 112*ζ^7 + 100*ζ^8 - 30*ζ^9 + 6*ζ^10 + 8*ζ^11 + ζ^12)
+q^3(7056 + 6/ζ^14 - 6/ζ^13 - 88/ζ^12 + 85/ζ^11 + 76/ζ^10 - 307/ζ^9 + 792/ζ^8 + 804/ζ^7 - 512/ζ^6 - 1358/ζ^5 - 1416/ζ^4 + 1267/ζ^3 - 2386/ζ^2 - 485/ζ - 485*ζ - 2386*ζ^2 + 1267*ζ^3 - 1416*ζ^4 - 1358*ζ^5 - 512*ζ^6 + 804*ζ^7 + 792*ζ^8 - 307*ζ^9 + 76*ζ^10 + 85*ζ^11 - 88*ζ^12 - 6*ζ^13 + 6*ζ^14)
+q^4(29388 + 10/ζ^16 - 3/ζ^15 + 58/ζ^14 - 89/ζ^13 - 737/ζ^12 + 594/ζ^11 + 480/ζ^10 - 1824/ζ^9 + 3984/ζ^8 + 4024/ζ^7 - 2326/ζ^6 - 6177/ζ^5 - 5663/ζ^4 + 5694/ζ^3 - 10500/ζ^2 - 2219/ζ - 2219*ζ - 10500*ζ^2 + 5694*ζ^3 - 5663*ζ^4 - 6177*ζ^5 - 2326*ζ^6 + 4024*ζ^7 + 3984*ζ^8 - 1824*ζ^9 + 480*ζ^10 + 594*ζ^11 - 737*ζ^12 - 89*ζ^13 + 58*ζ^14 - 3*ζ^15 + 10*ζ^16)

COEFFICIENTS OF Borch(ψ) (return to top)

Use the notation

[a b c ]

a	b
b	c

Here is a list of some Fourier coefficients of Borch(ψ)

2u det(2u) a(u, Borch(ψ))

[4 -53 704] 7 0

[8 -89 992] 15 0

[4 -25 160] 15 0

[12 -109 992] 23 0

[6 -13 32] 23 0

[6 -19 64] 23 0

[14 -42 128] 28 0

[14 -70 352] 28 0

[8 -42 224] 28 0

[8 -106 1408] 28 0

[16 -113 800] 31 0

[8 -113 1600] 31 0

[14 -47 160] 31 0

[20 -101 512] 39 1

[10 -91 832] 39 0

[10 -101 1024] 39 0

[8 -27 96] 39 0

[24 -73 224] 47 -1

[4 9 32] 47 1

[16 -55 192] 47 0

[2 4 32] 48 -1

[26 76 224] 48 -1

[6 12 32] 48 -1

[14 36 96] 48 0

[2 3 32] 55 1

[14 -29 64] 55 0

[14 -99 704] 55 0

[8 -35 160] 55 0

[2 2 32] 60 2

[30 -210 1472] 60 2

[16 -50 160] 60 1

[16 -178 1984] 60 1

[10 -30 96] 60 -1

[10 -50 256] 60 1

[8 -114 1632] 60 2

[2 1 32] 63 2

[16 -225 3168] 63 0

[12 -159 2112] 63 -1

[8 -97 1184] 63 0

[2 0 32] 64 0

[2 8 64] 64 2

[2 16 160] 64 0

[4 8 32] 64 2

[20 56 160] 64 1

[10 -24 64] 64 -1

[10 -144 2080] 64 0

[36 -469 6112] 71 -3

[18 -235 3072] 71 0

[120 277 640] 71 3

[10 -53 288] 71 0

[40 -441 4864] 79 2

[190 441 1024] 79 -2

[44 -397 3584] 87 -1

[22 -243 2688] 87 6

[134 307 704] 87 -1

[46 -138 416] 92 2

[46 -230 1152] 92 2

[4 6 32] 92 -2

[24 -218 1984] 92 -4

[162 374 864] 92 2

[6 26 128] 92 5

[26 -86 288] 92 5

[12 -26 64] 92 -4

[12 -122 1248] 92 -6

[12 -134 1504] 92 5

[48 -337 2368] 95 5

[4 17 96] 95 -7

[16 -81 416] 95 7

[10 15 32] 95 5

[52 -261 1312] 103 -11

[4 5 32] 103 11

[56 -169 512] 111 14

[120 297 736] 111 -3

[6 9 32] 111 -14

[10 23 64] 111 3

[2 4 64] 112 12

[58 172 512] 112 12

[4 4 32] 112 12

[28 -84 256] 112 1

[28 -140 704] 112 -13

[28 -196 1376] 112 -2

[14 -28 64] 112 2

[8 12 32] 112 12

[16 -84 448] 112 1

[2 3 64] 119 -17

[30 -451 6784] 119 17

[20 -61 192] 119 -9

[90 221 544] 119 5

[12 -61 320] 119 -9

[12 -125 1312] 119 -5

[2 2 64] 124 -26

[62 -434 3040] 124 -26

[4 2 32] 124 -26

[16 -226 3200] 124 -12

[8 34 160] 124 -1

[28 -94 320] 124 -1

[10 14 32] 124 -26

[14 -158 1792] 124 -1

[2 1 64] 127 -27

[4 1 32] 127 -27

[2 0 64] 128 0

[2 8 96] 128 -24

[2 16 192] 128 0

[4 0 32] 128 0

[4 16 96] 128 -15

[6 8 32] 128 -24

[22 -112 576] 128 15

[22 -288 3776] 128 -3

[18 -256 3648] 128 0

[12 16 32] 128 0

[12 -64 352] 128 3

[68 -885 11520] 135 41

[34 -171 864] 135 17

[24 -267 2976] 135 -15

[8 11 32] 135 41

[72 -793 8736] 143 -27

[42 121 352] 143 -15

[6 7 32] 143 -27

[6 25 128] 143 14

[18 -199 2208] 143 14

[12 -25 64] 143 15

[76 -685 6176] 151 14

[38 -115 352] 151 -13

[8 19 64] 151 13

[10 13 32] 151 -14

[78 -234 704] 156 -28

[78 -390 1952] 156 -28

[40 -202 1024] 156 67

[40 -522 6816] 156 13

[6 6 32] 156 28

[8 10 32] 156 28

[10 22 64] 156 13

[80 -561 3936] 159 -72

[46 -143 448] 159 1

[28 -143 736] 159 1

[12 15 32] 159 -72

[84 -421 2112] 167 34

[42 -379 3424] 167 -24

[28 -421 6336] 167 34

[14 -197 2784] 167 24

[16 -37 96] 167 9

[88 -265 800] 175 -81

[4 9 64] 175 -114

[8 9 32] 175 81

[2 4 96] 176 -49

[90 268 800] 176 -49

[30 -92 288] 176 -51

[30 -332 3680] 176 -50

[30 -452 6816] 176 49

[10 12 32] 176 -49

[18 -92 480] 176 -51

[2 3 96] 183 125

[6 3 32] 183 125

[38 -125 416] 183 -35

[16 -227 3232] 183 0

[2 2 96] 188 126

[94 -658 4608] 188 126

[48 -146 448] 188 -47

[48 -530 5856] 188 5

[6 2 32] 188 126

[6 14 64] 188 5

[142 350 864] 188 17

[8 18 64] 188 47

[12 14 32] 188 126

[14 34 96] 188 -17

[2 1 96] 191 143

[6 1 32] 191 143

[32 -417 5440] 191 -22

[8 33 160] 191 15

[20 -223 2496] 191 15

[18 -95 512] 191 22

[18 -257 3680] 191 -42

[2 0 96] 192 0

[2 8 128] 192 96

[2 16 224] 192 0

[4 8 64] 192 -36

[52 152 448] 192 -148

[6 0 32] 192 0

[6 24 128] 192 18

[8 8 32] 192 96

[24 -120 608] 192 -18

[12 24 64] 192 -148

[14 16 32] 192 0

[100 -1301 16928] 199 -219

[50 -651 8480] 199 76

[10 11 32] 199 -219

[10 21 64] 199 76

[104 -1145 12608] 207 139

[478 1113 2592] 207 -50

[26 -391 5888] 207 -139

[108 -973 8768] 215 -75

[54 -595 6560] 215 129

[36 -397 4384] 215 94

[6 13 64] 215 129

[12 13 32] 215 75

[110 -330 992] 220 152

[110 -550 2752] 220 152

[4 6 64] 220 145

[56 -506 4576] 220 -173

[28 -422 6368] 220 152

[10 10 32] 220 -152

[170 390 896] 220 -173

[112 -785 5504] 223 412

[4 17 128] 223 -87

[8 17 64] 223 -87

[14 15 32] 223 412

[116 -581 2912] 231 67

[4 5 64] 231 161

[40 -123 384] 231 2

[30 -453 6848] 231 67

[24 -123 640] 231 2

[120 -361 1088] 239 243

[248 617 1536] 239 260

[48 -151 480] 239 61

[30 -151 768] 239 61

[24 -361 5440] 239 243

[198 457 1056] 239 260

[2 4 128] 240 28

[122 364 1088] 240 28

[4 4 64] 240 33

[60 -180 544] 240 -184

[60 -300 1504] 240 -174

[6 12 64] 240 174

[8 4 32] 240 28

[32 -356 3968] 240 27

[10 20 64] 240 184

[12 12 32] 240 28

[16 -36 96] 240 -262

[16 -228 3264] 240 43

[2 3 128] 247 -499

[62 -931 13984] 247 0

[8 3 32] 247 -499

[2 2 128] 252 -210

[126 -882 6176] 252 -210

[4 2 64] 252 -107

[42 -126 384] 252 271

[42 -210 1056] 252 -515

[8 2 32] 252 -210

[24 -126 672] 252 271

[14 14 32] 252 -210

[18 -258 3712] 252 -65

[2 1 128] 255 -334

[4 1 64] 255 -20

[44 -575 7520] 255 19

[8 1 32] 255 -334

[14 33 96] 255 19

[2 0 128] 256 0

[2 8 160] 256 -32

[4 0 64] 256 0

[4 16 128] 256 -184

[8 0 32] 256 0

[8 16 64] 256 -184

[8 32 160] 256 124

[26 -288 3200] 256 124

[26 -392 5920] 256 32

[16 16 32] 256 0

[20 -288 4160] 256 0

[132 -1717 22336] 263 504

[66 -331 1664] 263 -284

[408 949 2208] 263 -284

[22 -331 4992] 263 -504

[136 -1497 16480] 271 -276

[74 217 640] 271 166

[28 -423 6400] 271 276

[212 487 1120] 271 -166

[140 -1261 11360] 279 151

[70 -211 640] 279 -205

[268 621 1440] 279 -205

[20 -301 4544] 279 151

[142 -426 1280] 284 -334

[142 -710 3552] 284 -334

[72 -362 1824] 284 -306

[72 -938 12224] 284 -264

[450 1046 2432] 284 -306

[6 26 160] 284 -112

[58 -182 576] 284 112

[36 -182 928] 284 112

[30 -154 800] 284 112

[30 -454 6880] 284 -334

[24 -362 5472] 284 -334

[240 554 1280] 284 264

[78 -239 736] 287 286

[48 -241 1216] 287 108

[338 785 1824] 287 286

[18 -271 4096] 287 1052

[148 -741 3712] 295 -684

[38 -421 4672] 295 -178

[10 5 32] 295 684

[226 517 1184] 295 -286

[152 -457 1376] 303 -381

[4 9 96] 303 388

[6 9 64] 303 388

[26 -393 5952] 303 -381

[2 4 160] 304 365

[154 460 1376] 304 365

[10 4 32] 304 365

[22 -332 5024] 304 -365

[2 3 160] 311 1033

[52 -157 480] 311 64

[10 3 32] 311 1033

[12 29 96] 311 -64

[16 35 96] 311 472

[240 547 1248] 311 337

[2 2 160] 316 -368

[80 -242 736] 316 295

[80 -882 9728] 316 -27

[380 882 2048] 316 27

[10 2 32] 316 -368

[310 718 1664] 316 295

[20 -302 4576] 316 368

[2 1 160] 319 116

[50 -159 512] 319 -91

[10 1 32] 319 116

[32 -353 3904] 319 91

[20 -289 4192] 319 -141

[2 0 160] 320 0

[2 8 192] 320 -824

[4 8 96] 320 -234

[84 248 736] 320 690

[6 8 64] 320 -234

[54 -272 1376] 320 456

[54 -704 9184] 320 -288

[10 0 32] 320 0

[28 -424 6432] 320 824

[14 32 96] 320 -288

[254 584 1344] 320 -690

[18 -272 4128] 320 0

[164 -2133 27744] 327 -72

[82 -1067 13888] 327 -432

[56 -619 6848] 327 336

[42 -213 1088] 327 -336

[282 651 1504] 327 432

[24 -363 5504] 327 72

[168 -1849 20352] 335 -215

[766 1785 4160] 335 568

[6 7 64] 335 -568

[6 25 160] 335 -289

[36 -185 960] 335 289

[30 -455 6912] 335 215

[86 -947 10432] 343 -715

[422 979 2272] 343 715

[22 -333 5056] 343 196

[174 -522 1568] 348 -186

[174 -870 4352] 348 -186

[4 6 96] 348 -570

[6 6 64] 348 -570

[44 -486 5376] 348 -428

[12 6 32] 348 186

[26 -394 5984] 348 -186

[268 614 1408] 348 920

[4 17 160] 351 459

[60 -303 1536] 351 1236

[352 815 1888] 351 -459

[20 -303 4608] 351 -316

[180 -901 4512] 359 1478

[4 5 96] 359 -1110

[60 -901 13536] 359 1110

[12 5 32] 359 -1478

[184 -553 1664] 367 237

[376 937 2336] 367 -1035

[28 -425 6464] 367 237

[296 681 1568] 367 -1035

[2 4 192] 368 -932

[4 4 96] 368 -442

[92 -276 832] 368 465

[92 -460 2304] 368 1083

[62 -188 576] 368 -994

[62 -684 7552] 368 -406

[62 -932 14016] 368 442

[8 12 64] 368 -1083

[48 -244 1248] 368 406

[12 4 32] 368 -932

[12 28 96] 368 994

[324 748 1728] 368 465

[24 -364 5536] 368 932

[282 644 1472] 368 -176

[2 3 192] 375 -283

[94 -1411 21184] 375 -263

[6 3 64] 375 263

[12 3 32] 375 -283

[2 2 192] 380 1900

[4 2 96] 380 1050

[6 2 64] 380 1050

[6 14 96] 380 -2825

[60 -190 608] 380 941

[38 -190 960] 380 941

[12 2 32] 380 1900

[16 34 96] 380 1069

[22 -334 5088] 380 -1900

[20 30 64] 380 -354

[2 1 192] 383 961

[4 1 96] 383 578

[6 1 64] 383 578

[64 -833 10848] 383 -992

[12 1 32] 383 961

[14 31 96] 383 -992

[2 0 192] 384 0

[2 8 224] 384 1872

[4 0 96] 384 0

[4 16 160] 384 1016

[6 0 64] 384 0

[6 24 160] 384 -244

[10 24 96] 384 -244

[394 912 2112] 384 -1016

[12 0 32] 384 0

[30 -456 6944] 384 -1872

[20 -304 4640] 384 0

[22 32 64] 384 0

[98 -491 2464] 391 1303

[8 11 64] 391 -1303

[26 -395 6016] 391 1840

[200 -2201 24224] 399 1771

[50 -551 6080] 399 -866

[14 7 32] 399 1771

[310 711 1632] 399 591

[102 -307 928] 407 707

[68 -749 8256] 407 1166

[6 13 96] 407 -2230

[8 19 96] 407 1166

[366 845 1952] 407 707

[24 -365 5568] 407 -1514

[206 -1030 5152] 412 2422

[104 -522 2624] 412 328

[104 -1354 17632] 412 554

[8 10 64] 412 -328

[14 6 32] 412 -2422

[338 778 1792] 412 -554

[28 -426 6496] 412 2422

[110 -335 1024] 415 -1272

[10 15 64] 415 1272

[22 -335 5120] 415 -4630

[212 -1061 5312] 423 190

[72 -219 672] 423 -2574

[12 27 96] 423 2574

[14 5 32] 423 -190

[18 27 64] 423 -1778

[4 9 128] 431 302

[80 -247 768] 431 2247

[8 9 64] 431 302

[10 23 96] 431 -2247

[30 -457 6976] 431 323

[2 4 224] 432 -308

[6 12 96] 432 1338

[14 4 32] 432 -308

[26 -396 6048] 432 308

[2 3 224] 439 -4140

[70 -221 704] 439 -263

[44 -221 1120] 439 -263

[14 3 32] 439 -4140

[20 29 64] 439 1893

[2 2 224] 444 -1500

[112 -338 1024] 444 -1119

[112 -1234 13600] 444 279

[74 -222 672] 444 563

[74 -370 1856] 444 -1567

[8 18 96] 444 1567

[10 14 64] 444 279

[12 18 64] 444 1119

[14 2 32] 444 -1500

[14 30 96] 444 -563

[24 -366 5600] 444 1500

[2 1 224] 447 -1524

[14 1 32] 447 -1524

[16 33 96] 447 1446

[22 31 64] 447 1328

[2 0 224] 448 0

[4 8 128] 448 1712

[8 8 64] 448 1712

[56 -280 1408] 448 -2224

[14 0 32] 448 0

[16 8 32] 448 1536

[16 24 64] 448 -80

[22 -336 5152] 448 0

[114 -1483 19296] 455 275

[696 1621 3776] 455 -652

[14 21 64] 455 275

[28 -427 6528] 455 -2281

[1054 2457 5728] 463 -2168

[58 -871 13088] 463 -2168

[16 7 32] 463 -1473

[118 -1299 14304] 471 635

[10 13 64] 471 635

[26 -397 6080] 471 2024

[4 6 128] 476 736

[738 1718 4000] 476 -1621

[6 26 192] 476 2074

[90 -278 864] 476 1598

[60 -902 13568] 476 -736

[10 22 96] 476 -1598

[12 26 96] 476 2074

[16 6 32] 476 3762

[18 26 64] 476 442

[30 -458 7008] 476 -3762

[4 17 192] 479 787

[80 -401 2016] 479 -2947

[8 17 96] 479 2947

[12 17 64] 479 787

[24 -367 5632] 479 9085

[4 5 128] 487 1887

[62 -933 14048] 487 -1887

[16 5 32] 487 5535

[6 9 96] 495 2366

[62 -311 1568] 495 1076

[16 23 64] 495 40

[18 9 32] 495 2193

[4 4 128] 496 566

[124 -372 1120] 496 2200

[124 -620 3104] 496 -236

[8 4 64] 496 566

[64 -708 7840] 496 -76

[10 12 64] 496 236

[50 -252 1280] 496 76

[14 20 64] 496 -2200

[16 4 32] 496 3880

[20 28 64] 496 -1870

[28 -428 6560] 496 -3880

	φ	= TB(9;−1,2,2,3,4)
		= 1⁻¹2²3¹4¹
		= η(τ)¹⁸(θ(τ,z)/η(τ))⁻¹(θ(τ,2z)/η(τ))²(θ(τ,3z)/η(τ))(θ(τ,4z)/η(τ))

2u	det(2u)	a(u, Borch(ψ))
[4 -53 704]	7	0
[8 -89 992]	15	0
[4 -25 160]	15	0
[12 -109 992]	23	0
[6 -13 32]	23	0
[6 -19 64]	23	0
[14 -42 128]	28	0
[14 -70 352]	28	0
[8 -42 224]	28	0
[8 -106 1408]	28	0
[16 -113 800]	31	0
[8 -113 1600]	31	0
[14 -47 160]	31	0
[20 -101 512]	39	1
[10 -91 832]	39	0
[10 -101 1024]	39	0
[8 -27 96]	39	0
[24 -73 224]	47	-1
[4 9 32]	47	1
[16 -55 192]	47	0
[2 4 32]	48	-1
[26 76 224]	48	-1
[6 12 32]	48	-1
[14 36 96]	48	0
[2 3 32]	55	1
[14 -29 64]	55	0
[14 -99 704]	55	0
[8 -35 160]	55	0
[2 2 32]	60	2
[30 -210 1472]	60	2
[16 -50 160]	60	1
[16 -178 1984]	60	1
[10 -30 96]	60	-1
[10 -50 256]	60	1
[8 -114 1632]	60	2
[2 1 32]	63	2
[16 -225 3168]	63	0
[12 -159 2112]	63	-1
[8 -97 1184]	63	0
[2 0 32]	64	0
[2 8 64]	64	2
[2 16 160]	64	0
[4 8 32]	64	2
[20 56 160]	64	1
[10 -24 64]	64	-1
[10 -144 2080]	64	0
[36 -469 6112]	71	-3
[18 -235 3072]	71	0
[120 277 640]	71	3
[10 -53 288]	71	0
[40 -441 4864]	79	2
[190 441 1024]	79	-2
[44 -397 3584]	87	-1
[22 -243 2688]	87	6
[134 307 704]	87	-1
[46 -138 416]	92	2
[46 -230 1152]	92	2
[4 6 32]	92	-2
[24 -218 1984]	92	-4
[162 374 864]	92	2
[6 26 128]	92	5
[26 -86 288]	92	5
[12 -26 64]	92	-4
[12 -122 1248]	92	-6
[12 -134 1504]	92	5
[48 -337 2368]	95	5
[4 17 96]	95	-7
[16 -81 416]	95	7
[10 15 32]	95	5
[52 -261 1312]	103	-11
[4 5 32]	103	11
[56 -169 512]	111	14
[120 297 736]	111	-3
[6 9 32]	111	-14
[10 23 64]	111	3
[2 4 64]	112	12
[58 172 512]	112	12
[4 4 32]	112	12
[28 -84 256]	112	1
[28 -140 704]	112	-13
[28 -196 1376]	112	-2
[14 -28 64]	112	2
[8 12 32]	112	12
[16 -84 448]	112	1
[2 3 64]	119	-17
[30 -451 6784]	119	17
[20 -61 192]	119	-9
[90 221 544]	119	5
[12 -61 320]	119	-9
[12 -125 1312]	119	-5
[2 2 64]	124	-26
[62 -434 3040]	124	-26
[4 2 32]	124	-26
[16 -226 3200]	124	-12
[8 34 160]	124	-1
[28 -94 320]	124	-1
[10 14 32]	124	-26
[14 -158 1792]	124	-1
[2 1 64]	127	-27
[4 1 32]	127	-27
[2 0 64]	128	0
[2 8 96]	128	-24
[2 16 192]	128	0
[4 0 32]	128	0
[4 16 96]	128	-15
[6 8 32]	128	-24
[22 -112 576]	128	15
[22 -288 3776]	128	-3
[18 -256 3648]	128	0
[12 16 32]	128	0
[12 -64 352]	128	3
[68 -885 11520]	135	41
[34 -171 864]	135	17
[24 -267 2976]	135	-15
[8 11 32]	135	41
[72 -793 8736]	143	-27
[42 121 352]	143	-15
[6 7 32]	143	-27
[6 25 128]	143	14
[18 -199 2208]	143	14
[12 -25 64]	143	15
[76 -685 6176]	151	14
[38 -115 352]	151	-13
[8 19 64]	151	13
[10 13 32]	151	-14
[78 -234 704]	156	-28
[78 -390 1952]	156	-28
[40 -202 1024]	156	67
[40 -522 6816]	156	13
[6 6 32]	156	28
[8 10 32]	156	28
[10 22 64]	156	13
[80 -561 3936]	159	-72
[46 -143 448]	159	1
[28 -143 736]	159	1
[12 15 32]	159	-72
[84 -421 2112]	167	34
[42 -379 3424]	167	-24
[28 -421 6336]	167	34
[14 -197 2784]	167	24
[16 -37 96]	167	9
[88 -265 800]	175	-81
[4 9 64]	175	-114
[8 9 32]	175	81
[2 4 96]	176	-49
[90 268 800]	176	-49
[30 -92 288]	176	-51
[30 -332 3680]	176	-50
[30 -452 6816]	176	49
[10 12 32]	176	-49
[18 -92 480]	176	-51
[2 3 96]	183	125
[6 3 32]	183	125
[38 -125 416]	183	-35
[16 -227 3232]	183	0
[2 2 96]	188	126
[94 -658 4608]	188	126
[48 -146 448]	188	-47
[48 -530 5856]	188	5
[6 2 32]	188	126
[6 14 64]	188	5
[142 350 864]	188	17
[8 18 64]	188	47
[12 14 32]	188	126
[14 34 96]	188	-17
[2 1 96]	191	143
[6 1 32]	191	143
[32 -417 5440]	191	-22
[8 33 160]	191	15
[20 -223 2496]	191	15
[18 -95 512]	191	22
[18 -257 3680]	191	-42
[2 0 96]	192	0
[2 8 128]	192	96
[2 16 224]	192	0
[4 8 64]	192	-36
[52 152 448]	192	-148
[6 0 32]	192	0
[6 24 128]	192	18
[8 8 32]	192	96
[24 -120 608]	192	-18
[12 24 64]	192	-148
[14 16 32]	192	0
[100 -1301 16928]	199	-219
[50 -651 8480]	199	76
[10 11 32]	199	-219
[10 21 64]	199	76
[104 -1145 12608]	207	139
[478 1113 2592]	207	-50
[26 -391 5888]	207	-139
[108 -973 8768]	215	-75
[54 -595 6560]	215	129
[36 -397 4384]	215	94
[6 13 64]	215	129
[12 13 32]	215	75
[110 -330 992]	220	152
[110 -550 2752]	220	152
[4 6 64]	220	145
[56 -506 4576]	220	-173
[28 -422 6368]	220	152
[10 10 32]	220	-152
[170 390 896]	220	-173
[112 -785 5504]	223	412
[4 17 128]	223	-87
[8 17 64]	223	-87
[14 15 32]	223	412
[116 -581 2912]	231	67
[4 5 64]	231	161
[40 -123 384]	231	2
[30 -453 6848]	231	67
[24 -123 640]	231	2
[120 -361 1088]	239	243
[248 617 1536]	239	260
[48 -151 480]	239	61
[30 -151 768]	239	61
[24 -361 5440]	239	243
[198 457 1056]	239	260
[2 4 128]	240	28
[122 364 1088]	240	28
[4 4 64]	240	33
[60 -180 544]	240	-184
[60 -300 1504]	240	-174
[6 12 64]	240	174
[8 4 32]	240	28
[32 -356 3968]	240	27
[10 20 64]	240	184
[12 12 32]	240	28
[16 -36 96]	240	-262
[16 -228 3264]	240	43
[2 3 128]	247	-499
[62 -931 13984]	247	0
[8 3 32]	247	-499
[2 2 128]	252	-210
[126 -882 6176]	252	-210
[4 2 64]	252	-107
[42 -126 384]	252	271
[42 -210 1056]	252	-515
[8 2 32]	252	-210
[24 -126 672]	252	271
[14 14 32]	252	-210
[18 -258 3712]	252	-65
[2 1 128]	255	-334
[4 1 64]	255	-20
[44 -575 7520]	255	19
[8 1 32]	255	-334
[14 33 96]	255	19
[2 0 128]	256	0
[2 8 160]	256	-32
[4 0 64]	256	0
[4 16 128]	256	-184
[8 0 32]	256	0
[8 16 64]	256	-184
[8 32 160]	256	124
[26 -288 3200]	256	124
[26 -392 5920]	256	32
[16 16 32]	256	0
[20 -288 4160]	256	0
[132 -1717 22336]	263	504
[66 -331 1664]	263	-284
[408 949 2208]	263	-284
[22 -331 4992]	263	-504
[136 -1497 16480]	271	-276
[74 217 640]	271	166
[28 -423 6400]	271	276
[212 487 1120]	271	-166
[140 -1261 11360]	279	151
[70 -211 640]	279	-205
[268 621 1440]	279	-205
[20 -301 4544]	279	151
[142 -426 1280]	284	-334
[142 -710 3552]	284	-334
[72 -362 1824]	284	-306
[72 -938 12224]	284	-264
[450 1046 2432]	284	-306
[6 26 160]	284	-112
[58 -182 576]	284	112
[36 -182 928]	284	112
[30 -154 800]	284	112
[30 -454 6880]	284	-334
[24 -362 5472]	284	-334
[240 554 1280]	284	264
[78 -239 736]	287	286
[48 -241 1216]	287	108
[338 785 1824]	287	286
[18 -271 4096]	287	1052
[148 -741 3712]	295	-684
[38 -421 4672]	295	-178
[10 5 32]	295	684
[226 517 1184]	295	-286
[152 -457 1376]	303	-381
[4 9 96]	303	388
[6 9 64]	303	388
[26 -393 5952]	303	-381
[2 4 160]	304	365
[154 460 1376]	304	365
[10 4 32]	304	365
[22 -332 5024]	304	-365
[2 3 160]	311	1033
[52 -157 480]	311	64
[10 3 32]	311	1033
[12 29 96]	311	-64
[16 35 96]	311	472
[240 547 1248]	311	337
[2 2 160]	316	-368
[80 -242 736]	316	295
[80 -882 9728]	316	-27
[380 882 2048]	316	27
[10 2 32]	316	-368
[310 718 1664]	316	295
[20 -302 4576]	316	368
[2 1 160]	319	116
[50 -159 512]	319	-91
[10 1 32]	319	116
[32 -353 3904]	319	91
[20 -289 4192]	319	-141
[2 0 160]	320	0
[2 8 192]	320	-824
[4 8 96]	320	-234
[84 248 736]	320	690
[6 8 64]	320	-234
[54 -272 1376]	320	456
[54 -704 9184]	320	-288
[10 0 32]	320	0
[28 -424 6432]	320	824
[14 32 96]	320	-288
[254 584 1344]	320	-690
[18 -272 4128]	320	0
[164 -2133 27744]	327	-72
[82 -1067 13888]	327	-432
[56 -619 6848]	327	336
[42 -213 1088]	327	-336
[282 651 1504]	327	432
[24 -363 5504]	327	72
[168 -1849 20352]	335	-215
[766 1785 4160]	335	568
[6 7 64]	335	-568
[6 25 160]	335	-289
[36 -185 960]	335	289
[30 -455 6912]	335	215
[86 -947 10432]	343	-715
[422 979 2272]	343	715
[22 -333 5056]	343	196
[174 -522 1568]	348	-186
[174 -870 4352]	348	-186
[4 6 96]	348	-570
[6 6 64]	348	-570
[44 -486 5376]	348	-428
[12 6 32]	348	186
[26 -394 5984]	348	-186
[268 614 1408]	348	920
[4 17 160]	351	459
[60 -303 1536]	351	1236
[352 815 1888]	351	-459
[20 -303 4608]	351	-316
[180 -901 4512]	359	1478
[4 5 96]	359	-1110
[60 -901 13536]	359	1110
[12 5 32]	359	-1478
[184 -553 1664]	367	237
[376 937 2336]	367	-1035
[28 -425 6464]	367	237
[296 681 1568]	367	-1035
[2 4 192]	368	-932
[4 4 96]	368	-442
[92 -276 832]	368	465
[92 -460 2304]	368	1083
[62 -188 576]	368	-994
[62 -684 7552]	368	-406
[62 -932 14016]	368	442
[8 12 64]	368	-1083
[48 -244 1248]	368	406
[12 4 32]	368	-932
[12 28 96]	368	994
[324 748 1728]	368	465
[24 -364 5536]	368	932
[282 644 1472]	368	-176
[2 3 192]	375	-283
[94 -1411 21184]	375	-263
[6 3 64]	375	263
[12 3 32]	375	-283
[2 2 192]	380	1900
[4 2 96]	380	1050
[6 2 64]	380	1050
[6 14 96]	380	-2825
[60 -190 608]	380	941
[38 -190 960]	380	941
[12 2 32]	380	1900
[16 34 96]	380	1069
[22 -334 5088]	380	-1900
[20 30 64]	380	-354
[2 1 192]	383	961
[4 1 96]	383	578
[6 1 64]	383	578
[64 -833 10848]	383	-992
[12 1 32]	383	961
[14 31 96]	383	-992
[2 0 192]	384	0
[2 8 224]	384	1872
[4 0 96]	384	0
[4 16 160]	384	1016
[6 0 64]	384	0
[6 24 160]	384	-244
[10 24 96]	384	-244
[394 912 2112]	384	-1016
[12 0 32]	384	0
[30 -456 6944]	384	-1872
[20 -304 4640]	384	0
[22 32 64]	384	0
[98 -491 2464]	391	1303
[8 11 64]	391	-1303
[26 -395 6016]	391	1840
[200 -2201 24224]	399	1771
[50 -551 6080]	399	-866
[14 7 32]	399	1771
[310 711 1632]	399	591
[102 -307 928]	407	707
[68 -749 8256]	407	1166
[6 13 96]	407	-2230
[8 19 96]	407	1166
[366 845 1952]	407	707
[24 -365 5568]	407	-1514
[206 -1030 5152]	412	2422
[104 -522 2624]	412	328
[104 -1354 17632]	412	554
[8 10 64]	412	-328
[14 6 32]	412	-2422
[338 778 1792]	412	-554
[28 -426 6496]	412	2422
[110 -335 1024]	415	-1272
[10 15 64]	415	1272
[22 -335 5120]	415	-4630
[212 -1061 5312]	423	190
[72 -219 672]	423	-2574
[12 27 96]	423	2574
[14 5 32]	423	-190
[18 27 64]	423	-1778
[4 9 128]	431	302
[80 -247 768]	431	2247
[8 9 64]	431	302
[10 23 96]	431	-2247
[30 -457 6976]	431	323
[2 4 224]	432	-308
[6 12 96]	432	1338
[14 4 32]	432	-308
[26 -396 6048]	432	308
[2 3 224]	439	-4140
[70 -221 704]	439	-263
[44 -221 1120]	439	-263
[14 3 32]	439	-4140
[20 29 64]	439	1893
[2 2 224]	444	-1500
[112 -338 1024]	444	-1119
[112 -1234 13600]	444	279
[74 -222 672]	444	563
[74 -370 1856]	444	-1567
[8 18 96]	444	1567
[10 14 64]	444	279
[12 18 64]	444	1119
[14 2 32]	444	-1500
[14 30 96]	444	-563
[24 -366 5600]	444	1500
[2 1 224]	447	-1524
[14 1 32]	447	-1524
[16 33 96]	447	1446
[22 31 64]	447	1328
[2 0 224]	448	0
[4 8 128]	448	1712
[8 8 64]	448	1712
[56 -280 1408]	448	-2224
[14 0 32]	448	0
[16 8 32]	448	1536
[16 24 64]	448	-80
[22 -336 5152]	448	0
[114 -1483 19296]	455	275
[696 1621 3776]	455	-652
[14 21 64]	455	275
[28 -427 6528]	455	-2281
[1054 2457 5728]	463	-2168
[58 -871 13088]	463	-2168
[16 7 32]	463	-1473
[118 -1299 14304]	471	635
[10 13 64]	471	635
[26 -397 6080]	471	2024
[4 6 128]	476	736
[738 1718 4000]	476	-1621
[6 26 192]	476	2074
[90 -278 864]	476	1598
[60 -902 13568]	476	-736
[10 22 96]	476	-1598
[12 26 96]	476	2074
[16 6 32]	476	3762
[18 26 64]	476	442
[30 -458 7008]	476	-3762
[4 17 192]	479	787
[80 -401 2016]	479	-2947
[8 17 96]	479	2947
[12 17 64]	479	787
[24 -367 5632]	479	9085
[4 5 128]	487	1887
[62 -933 14048]	487	-1887
[16 5 32]	487	5535
[6 9 96]	495	2366
[62 -311 1568]	495	1076
[16 23 64]	495	40
[18 9 32]	495	2193
[4 4 128]	496	566
[124 -372 1120]	496	2200
[124 -620 3104]	496	-236
[8 4 64]	496	566
[64 -708 7840]	496	-76
[10 12 64]	496	236
[50 -252 1280]	496	76
[14 20 64]	496	-2200
[16 4 32]	496	3880
[20 28 64]	496	-1870
[28 -428 6560]	496	-3880

A Borcherds Product in S9(K(16))−

A Borcherds Product in S₉(K(16))⁻