A Borcherds Product in S

A Borcherds Product in S₉(K(16))⁻

(Filename: BP-9-16-1-0-7.html)

properties | c vector | θ vector | ψ expansion | Borch(ψ) coefficients

PROPERTIES OF ψ AND BORCH(ψ)

We will define a weakly holomorphic Jacobi form ψ of weight 0 and index 16, such that it and its Borcherds lift Borch(ψ) have the following list of properties.

The singular part of ψ truncated up to q^(16/4) is
(18 + ζ^(-4) + ζ^(-3) + 2/ζ^2 - ζ^(-1) - ζ + 2*ζ^2 + ζ^3 + ζ^4)
+q(ζ^(-10) - 9/ζ^8 - 9*ζ^8 + ζ^10)
+q^3(ζ^(-14) + ζ^14)
+q^4(20/ζ^16 + 20*ζ^16)
From the truncated singular part of ψ, the leading Jacobi coefficient of Borch(ψ) is the theta block
φ = TB(9;−1,2,2,3,4)

= 1⁻¹2²3¹4¹

= η(τ)¹⁸(θ(τ,z)/η(τ))⁻¹(θ(τ,2z)/η(τ))²(θ(τ,3z)/η(τ))(θ(τ,4z)/η(τ))
This theta block has q-order of vanishing 1. This theta block has index 1*16, and so Borch(ψ) begins with Jacobi coefficient #1.
From the truncated singular part of ψ, we compute that Borch(ψ) is a symmetric form, and so the Fricke sign of Borch(ψ) is −1.
We need to check that certain Fourier coefficients of Borch(ψ) are zero to determine that Borch(ψ) is a cusp form. For this weight and level and Fricke sign, an expansion of Borch(ψ) to 4 Fourier-Jacobi coefficients was needed to show that Borch(ψ) is a cusp form.
From the truncated singular part of ψ, we can compute that all Humbert divisors of Borch(ψ) have nonnegative multiplicities, and hence Borch(ψ) is holomorphic.
(D,r) multiplicity of Hum(D,r)
(1,1) 3

(4,2) 3

(4,14) 3

(9,3) 1

(16,4) 1

(36,10) 1
From the singular part above, we compute that the valuation Ord(ψ) is -0.5625, and hence we need to multiply ψ by Δ^1 to get a Jacobi cusp form. The definition of ψ is
ψ = c · θ/ Δ^1.
Here c is a vector of coefficients, θ is a basis of of J_12,16^cusp, and Δ is the weight 12 elliptic cusp form. Both c and θ will be given in tables.

(D,r)	multiplicity of Hum(D,r)
(1,1)	3
(4,2)	3
(4,14)	3
(9,3)	1
(16,4)	1
(36,10)	1

THE VECTOR c (return to top)

The vector c has components given by the following table.

c₁	6148601996108588/1520173324496827395
c₂	52996815145861179199/5910433885643664911760
c₃	-1540636627359978455527/2513412009869968503725940
c₄	-148978381169260747742/69817000274165791770165
c₅	-302282422775283319903/139634000548331583540330
c₆	-6755832211301260377791/2513412009869968503725940
c₇	1540636627359978455527/2513412009869968503725940
c₈	862850037643019099/6649238121349123025730
c₉	-74922479573614387687/59843143092142107231570
c₁₀	-11888884880084287891/39895428728094738154380
c₁₁	3544999033204435/73880423570545811397
c₁₂	20827662277345196057/89764714638213160847355

THE VECTOR θ (return to top)

The basis of J_12,16^cusp (with dimension 12) is given by the following theta blocks possibly with index lowering operators denoted by W.

θ₁	TB(12;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,3,3,4)\|W_2
θ₂	TB(12;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3)\|W_2
θ₃	TB(12;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,8)\|W_3
θ₄	TB(12;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,4,7)\|W_3
θ₅	TB(12;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,4,4,4,5)\|W_3
θ₆	TB(12;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,3,3,3,4,4,4)\|W_3
θ₇	TB(12;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,7)\|W_3
θ₈	TB(12;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,5,5)\|W_3
θ₉	TB(12;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,3,3,3,3,3,3,4)\|W_3
θ₁₀	TB(12;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3)\|W_3
θ₁₁	TB(12;1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,5)\|W_3
θ₁₂	TB(12;1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3)\|W_3

EXPANSION OF ψ (return to top)

The expansion of ψ up to q^(16/4) is

(18 + ζ^(-4) + ζ^(-3) + 2/ζ^2 - ζ^(-1) - ζ + 2*ζ^2 + ζ^3 + ζ^4)
+q(2154 + ζ^(-10) - 9/ζ^8 + 26/ζ^7 + 135/ζ^6 - 405/ζ^5 - 44/ζ^4 + 1083/ζ^3 - 1160/ζ^2 - 704/ζ - 704*ζ - 1160*ζ^2 + 1083*ζ^3 - 44*ζ^4 - 405*ζ^5 + 135*ζ^6 + 26*ζ^7 - 9*ζ^8 + ζ^10)
+q^2(53676 - 27/ζ^11 + 138/ζ^10 + 301/ζ^9 - 2022/ζ^8 + 1911/ζ^7 + 6744/ζ^6 - 15528/ζ^5 - 240/ζ^4 + 32537/ζ^3 - 31458/ζ^2 - 19194/ζ - 19194*ζ - 31458*ζ^2 + 32537*ζ^3 - 240*ζ^4 - 15528*ζ^5 + 6744*ζ^6 + 1911*ζ^7 - 2022*ζ^8 + 301*ζ^9 + 138*ζ^10 - 27*ζ^11)
+q^3(723304 + ζ^(-14) + 105/ζ^13 - 20/ζ^12 - 2915/ζ^11 + 6777/ζ^10 + 9534/ζ^9 - 52900/ζ^8 + 39585/ζ^7 + 124599/ζ^6 - 254608/ζ^5 - 1532/ζ^4 + 472590/ζ^3 - 438577/ζ^2 - 264291/ζ - 264291*ζ - 438577*ζ^2 + 472590*ζ^3 - 1532*ζ^4 - 254608*ζ^5 + 124599*ζ^6 + 39585*ζ^7 - 52900*ζ^8 + 9534*ζ^9 + 6777*ζ^10 - 2915*ζ^11 - 20*ζ^12 + 105*ζ^13 + ζ^14)
+q^4(6823944 + 20/ζ^16 - 78/ζ^15 - 1162/ζ^14 + 6775/ζ^13 - 273/ζ^12 - 67336/ζ^11 + 124692/ζ^10 + 145041/ζ^9 - 719000/ζ^8 + 481535/ζ^7 + 1410534/ζ^6 - 2710667/ζ^5 - 5743/ζ^4 + 4662354/ζ^3 - 4221040/ζ^2 - 2517624/ζ - 2517624*ζ - 4221040*ζ^2 + 4662354*ζ^3 - 5743*ζ^4 - 2710667*ζ^5 + 1410534*ζ^6 + 481535*ζ^7 - 719000*ζ^8 + 145041*ζ^9 + 124692*ζ^10 - 67336*ζ^11 - 273*ζ^12 + 6775*ζ^13 - 1162*ζ^14 - 78*ζ^15 + 20*ζ^16)

COEFFICIENTS OF Borch(ψ) (return to top)

Use the notation

[a b c ]

a	b
b	c

Here is a list of some Fourier coefficients of Borch(ψ)

2u det(2u) a(u, Borch(ψ))

[4 -53 704] 7 0

[8 -89 992] 15 0

[4 -25 160] 15 0

[12 -109 992] 23 0

[6 -13 32] 23 0

[6 -19 64] 23 1

[14 -42 128] 28 0

[14 -70 352] 28 0

[8 -42 224] 28 0

[8 -106 1408] 28 1

[16 -113 800] 31 0

[8 -113 1600] 31 0

[14 -47 160] 31 -1

[20 -101 512] 39 1

[10 -91 832] 39 0

[10 -101 1024] 39 0

[8 -27 96] 39 9

[24 -73 224] 47 -1

[4 9 32] 47 1

[16 -55 192] 47 -10

[2 4 32] 48 -1

[26 76 224] 48 -1

[6 12 32] 48 -1

[14 36 96] 48 -1

[2 3 32] 55 1

[14 -29 64] 55 0

[14 -99 704] 55 0

[8 -35 160] 55 25

[2 2 32] 60 2

[30 -210 1472] 60 2

[16 -50 160] 60 2

[16 -178 1984] 60 1

[10 -30 96] 60 18

[10 -50 256] 60 2

[8 -114 1632] 60 2

[2 1 32] 63 2

[16 -225 3168] 63 0

[12 -159 2112] 63 28

[8 -97 1184] 63 34

[2 0 32] 64 0

[2 8 64] 64 2

[2 16 160] 64 0

[4 8 32] 64 2

[20 56 160] 64 -2

[10 -24 64] 64 2

[10 -144 2080] 64 0

[36 -469 6112] 71 -3

[18 -235 3072] 71 3

[120 277 640] 71 3

[10 -53 288] 71 -3

[40 -441 4864] 79 2

[190 441 1024] 79 -2

[44 -397 3584] 87 -1

[22 -243 2688] 87 -11

[134 307 704] 87 -1

[46 -138 416] 92 2

[46 -230 1152] 92 2

[4 6 32] 92 -2

[24 -218 1984] 92 -1

[162 374 864] 92 2

[6 26 128] 92 34

[26 -86 288] 92 14

[12 -26 64] 92 -1

[12 -122 1248] 92 -18

[12 -134 1504] 92 34

[48 -337 2368] 95 5

[4 17 96] 95 7

[16 -81 416] 95 -7

[10 15 32] 95 5

[52 -261 1312] 103 -11

[4 5 32] 103 11

[56 -169 512] 111 14

[120 297 736] 111 29

[6 9 32] 111 -14

[10 23 64] 111 -29

[2 4 64] 112 12

[58 172 512] 112 12

[4 4 32] 112 12

[28 -84 256] 112 -20

[28 -140 704] 112 -12

[28 -196 1376] 112 20

[14 -28 64] 112 -20

[8 12 32] 112 12

[16 -84 448] 112 -20

[2 3 64] 119 -17

[30 -451 6784] 119 17

[20 -61 192] 119 -84

[90 221 544] 119 142

[12 -61 320] 119 -84

[12 -125 1312] 119 -142

[2 2 64] 124 -26

[62 -434 3040] 124 -26

[4 2 32] 124 -26

[16 -226 3200] 124 -40

[8 34 160] 124 262

[28 -94 320] 124 184

[10 14 32] 124 -26

[14 -158 1792] 124 262

[2 1 64] 127 -27

[4 1 32] 127 -27

[2 0 64] 128 0

[2 8 96] 128 -24

[2 16 192] 128 0

[4 0 32] 128 0

[4 16 96] 128 -32

[6 8 32] 128 -24

[22 -112 576] 128 32

[22 -288 3776] 128 32

[18 -256 3648] 128 0

[12 16 32] 128 0

[12 -64 352] 128 -32

[68 -885 11520] 135 41

[34 -171 864] 135 -162

[24 -267 2976] 135 -198

[8 11 32] 135 41

[72 -793 8736] 143 -27

[42 121 352] 143 137

[6 7 32] 143 -27

[6 25 128] 143 79

[18 -199 2208] 143 79

[12 -25 64] 143 -137

[76 -685 6176] 151 14

[38 -115 352] 151 70

[8 19 64] 151 -70

[10 13 32] 151 -14

[78 -234 704] 156 -28

[78 -390 1952] 156 -28

[40 -202 1024] 156 281

[40 -522 6816] 156 -44

[6 6 32] 156 28

[8 10 32] 156 28

[10 22 64] 156 -44

[80 -561 3936] 159 -72

[46 -143 448] 159 65

[28 -143 736] 159 65

[12 15 32] 159 -72

[84 -421 2112] 167 34

[42 -379 3424] 167 225

[28 -421 6336] 167 34

[14 -197 2784] 167 -225

[16 -37 96] 167 -282

[88 -265 800] 175 -81

[4 9 64] 175 -645

[8 9 32] 175 81

[2 4 96] 176 -49

[90 268 800] 176 -49

[30 -92 288] 176 -337

[30 -332 3680] 176 465

[30 -452 6816] 176 49

[10 12 32] 176 -49

[18 -92 480] 176 -337

[2 3 96] 183 125

[6 3 32] 183 125

[38 -125 416] 183 -82

[16 -227 3232] 183 3

[2 2 96] 188 126

[94 -658 4608] 188 126

[48 -146 448] 188 200

[48 -530 5856] 188 526

[6 2 32] 188 126

[6 14 64] 188 526

[142 350 864] 188 370

[8 18 64] 188 -200

[12 14 32] 188 126

[14 34 96] 188 -370

[2 1 96] 191 143

[6 1 32] 191 143

[32 -417 5440] 191 -353

[8 33 160] 191 -698

[20 -223 2496] 191 -698

[18 -95 512] 191 353

[18 -257 3680] 191 398

[2 0 96] 192 0

[2 8 128] 192 96

[2 16 224] 192 0

[4 8 64] 192 1072

[52 152 448] 192 112

[6 0 32] 192 0

[6 24 128] 192 -800

[8 8 32] 192 96

[24 -120 608] 192 800

[12 24 64] 192 112

[14 16 32] 192 0

[100 -1301 16928] 199 -219

[50 -651 8480] 199 405

[10 11 32] 199 -219

[10 21 64] 199 405

[104 -1145 12608] 207 139

[478 1113 2592] 207 -435

[26 -391 5888] 207 -139

[108 -973 8768] 215 -75

[54 -595 6560] 215 -1032

[36 -397 4384] 215 546

[6 13 64] 215 -1032

[12 13 32] 215 75

[110 -330 992] 220 152

[110 -550 2752] 220 152

[4 6 64] 220 -1953

[56 -506 4576] 220 1240

[28 -422 6368] 220 152

[10 10 32] 220 -152

[170 390 896] 220 1240

[112 -785 5504] 223 412

[4 17 128] 223 1124

[8 17 64] 223 1124

[14 15 32] 223 412

[116 -581 2912] 231 67

[4 5 64] 231 736

[40 -123 384] 231 1725

[30 -453 6848] 231 67

[24 -123 640] 231 1725

[120 -361 1088] 239 243

[248 617 1536] 239 1829

[48 -151 480] 239 -1742

[30 -151 768] 239 -1742

[24 -361 5440] 239 243

[198 457 1056] 239 1829

[2 4 128] 240 28

[122 364 1088] 240 28

[4 4 64] 240 1660

[60 -180 544] 240 -1252

[60 -300 1504] 240 644

[6 12 64] 240 -644

[8 4 32] 240 28

[32 -356 3968] 240 2292

[10 20 64] 240 1252

[12 12 32] 240 28

[16 -36 96] 240 -2684

[16 -228 3264] 240 3556

[2 3 128] 247 -499

[62 -931 13984] 247 773

[8 3 32] 247 -499

[2 2 128] 252 -210

[126 -882 6176] 252 -210

[4 2 64] 252 -423

[42 -126 384] 252 2078

[42 -210 1056] 252 2750

[8 2 32] 252 -210

[24 -126 672] 252 2078

[14 14 32] 252 -210

[18 -258 3712] 252 -3726

[2 1 128] 255 -334

[4 1 64] 255 -255

[44 -575 7520] 255 2196

[8 1 32] 255 -334

[14 33 96] 255 2196

[2 0 128] 256 0

[2 8 160] 256 -32

[4 0 64] 256 0

[4 16 128] 256 -1824

[8 0 32] 256 0

[8 16 64] 256 -1824

[8 32 160] 256 -896

[26 -288 3200] 256 -896

[26 -392 5920] 256 32

[16 16 32] 256 0

[20 -288 4160] 256 0

[132 -1717 22336] 263 504

[66 -331 1664] 263 -6278

[408 949 2208] 263 -6278

[22 -331 4992] 263 -504

[136 -1497 16480] 271 -276

[74 217 640] 271 4697

[28 -423 6400] 271 276

[212 487 1120] 271 -4697

[140 -1261 11360] 279 151

[70 -211 640] 279 3591

[268 621 1440] 279 3591

[20 -301 4544] 279 151

[142 -426 1280] 284 -334

[142 -710 3552] 284 -334

[72 -362 1824] 284 3426

[72 -938 12224] 284 -1965

[450 1046 2432] 284 3426

[6 26 160] 284 3634

[58 -182 576] 284 -1058

[36 -182 928] 284 -1058

[30 -154 800] 284 -3634

[30 -454 6880] 284 -334

[24 -362 5472] 284 -334

[240 554 1280] 284 1965

[78 -239 736] 287 1051

[48 -241 1216] 287 -1551

[338 785 1824] 287 1051

[18 -271 4096] 287 1052

[148 -741 3712] 295 -684

[38 -421 4672] 295 -4595

[10 5 32] 295 684

[226 517 1184] 295 5301

[152 -457 1376] 303 -381

[4 9 96] 303 -9990

[6 9 64] 303 -9990

[26 -393 5952] 303 -381

[2 4 160] 304 365

[154 460 1376] 304 365

[10 4 32] 304 365

[22 -332 5024] 304 -365

[2 3 160] 311 1033

[52 -157 480] 311 -6283

[10 3 32] 311 1033

[12 29 96] 311 6283

[16 35 96] 311 -8729

[240 547 1248] 311 1472

[2 2 160] 316 -368

[80 -242 736] 316 -400

[80 -882 9728] 316 8250

[380 882 2048] 316 -8250

[10 2 32] 316 -368

[310 718 1664] 316 -400

[20 -302 4576] 316 368

[2 1 160] 319 116

[50 -159 512] 319 -5639

[10 1 32] 319 116

[32 -353 3904] 319 5639

[20 -289 4192] 319 10836

[2 0 160] 320 0

[2 8 192] 320 -824

[4 8 96] 320 13192

[84 248 736] 320 4600

[6 8 64] 320 13192

[54 -272 1376] 320 -4992

[54 -704 9184] 320 5888

[10 0 32] 320 0

[28 -424 6432] 320 824

[14 32 96] 320 5888

[254 584 1344] 320 -4600

[18 -272 4128] 320 0

[164 -2133 27744] 327 -72

[82 -1067 13888] 327 6787

[56 -619 6848] 327 -8981

[42 -213 1088] 327 8981

[282 651 1504] 327 -6787

[24 -363 5504] 327 72

[168 -1849 20352] 335 -215

[766 1785 4160] 335 -5334

[6 7 64] 335 5334

[6 25 160] 335 -285

[36 -185 960] 335 285

[30 -455 6912] 335 215

[86 -947 10432] 343 -12430

[422 979 2272] 343 12430

[22 -333 5056] 343 196

[174 -522 1568] 348 -186

[174 -870 4352] 348 -186

[4 6 96] 348 -17846

[6 6 64] 348 -17846

[44 -486 5376] 348 -2661

[12 6 32] 348 186

[26 -394 5984] 348 -186

[268 614 1408] 348 13061

[4 17 160] 351 10224

[60 -303 1536] 351 1215

[352 815 1888] 351 -10224

[20 -303 4608] 351 -316

[180 -901 4512] 359 1478

[4 5 96] 359 2996

[60 -901 13536] 359 -2996

[12 5 32] 359 -1478

[184 -553 1664] 367 237

[376 937 2336] 367 13158

[28 -425 6464] 367 237

[296 681 1568] 367 13158

[2 4 192] 368 -932

[4 4 96] 368 10044

[92 -276 832] 368 -1860

[92 -460 2304] 368 9636

[62 -188 576] 368 3644

[62 -684 7552] 368 8388

[62 -932 14016] 368 -10044

[8 12 64] 368 -9636

[48 -244 1248] 368 -8388

[12 4 32] 368 -932

[12 28 96] 368 -3644

[324 748 1728] 368 -1860

[24 -364 5536] 368 932

[282 644 1472] 368 -21540

[2 3 192] 375 -283

[94 -1411 21184] 375 9185

[6 3 64] 375 -9185

[12 3 32] 375 -283

[2 2 192] 380 1900

[4 2 96] 380 -1732

[6 2 64] 380 -1732

[6 14 96] 380 -9092

[60 -190 608] 380 7340

[38 -190 960] 380 7340

[12 2 32] 380 1900

[16 34 96] 380 -15412

[22 -334 5088] 380 -1900

[20 30 64] 380 -18337

[2 1 192] 383 961

[4 1 96] 383 10380

[6 1 64] 383 10380

[64 -833 10848] 383 -19070

[12 1 32] 383 961

[14 31 96] 383 -19070

[2 0 192] 384 0

[2 8 224] 384 1872

[4 0 96] 384 0

[4 16 160] 384 -15232

[6 0 64] 384 0

[6 24 160] 384 -17680

[10 24 96] 384 -17680

[394 912 2112] 384 15232

[12 0 32] 384 0

[30 -456 6944] 384 -1872

[20 -304 4640] 384 0

[22 32 64] 384 0

[98 -491 2464] 391 -30504

[8 11 64] 391 30504

[26 -395 6016] 391 1840

[200 -2201 24224] 399 1771

[50 -551 6080] 399 5982

[14 7 32] 399 1771

[310 711 1632] 399 -18220

[102 -307 928] 407 19594

[68 -749 8256] 407 15581

[6 13 96] 407 -27430

[8 19 96] 407 15581

[366 845 1952] 407 19594

[24 -365 5568] 407 -1514

[206 -1030 5152] 412 2422

[104 -522 2624] 412 9467

[104 -1354 17632] 412 -4314

[8 10 64] 412 -9467

[14 6 32] 412 -2422

[338 778 1792] 412 4314

[28 -426 6496] 412 2422

[110 -335 1024] 415 -2563

[10 15 64] 415 2563

[22 -335 5120] 415 -4630

[212 -1061 5312] 423 190

[72 -219 672] 423 7320

[12 27 96] 423 -7320

[14 5 32] 423 -190

[18 27 64] 423 -5979

[4 9 128] 431 -31856

[80 -247 768] 431 -14559

[8 9 64] 431 -31856

[10 23 96] 431 14559

[30 -457 6976] 431 323

[2 4 224] 432 -308

[6 12 96] 432 27915

[14 4 32] 432 -308

[26 -396 6048] 432 308

[2 3 224] 439 -4140

[70 -221 704] 439 3288

[44 -221 1120] 439 3288

[14 3 32] 439 -4140

[20 29 64] 439 -17914

[2 2 224] 444 -1500

[112 -338 1024] 444 -16191

[112 -1234 13600] 444 32580

[74 -222 672] 444 6228

[74 -370 1856] 444 24036

[8 18 96] 444 -24036

[10 14 64] 444 32580

[12 18 64] 444 16191

[14 2 32] 444 -1500

[14 30 96] 444 -6228

[24 -366 5600] 444 1500

[2 1 224] 447 -1524

[14 1 32] 447 -1524

[16 33 96] 447 46612

[22 31 64] 447 30999

[2 0 224] 448 0

[4 8 128] 448 30528

[8 8 64] 448 30528

[56 -280 1408] 448 -6592

[14 0 32] 448 0

[16 8 32] 448 1536

[16 24 64] 448 15168

[22 -336 5152] 448 0

[114 -1483 19296] 455 26520

[696 1621 3776] 455 -60379

[14 21 64] 455 26520

[28 -427 6528] 455 -2281

[1054 2457 5728] 463 -10490

[58 -871 13088] 463 -10490

[16 7 32] 463 -1473

[118 -1299 14304] 471 -29157

[10 13 64] 471 -29157

[26 -397 6080] 471 2024

[4 6 128] 476 -34700

[738 1718 4000] 476 60350

[6 26 192] 476 37838

[90 -278 864] 476 -28206

[60 -902 13568] 476 34700

[10 22 96] 476 28206

[12 26 96] 476 37838

[16 6 32] 476 3762

[18 26 64] 476 -33218

[30 -458 7008] 476 -3762

[4 17 192] 479 15385

[80 -401 2016] 479 27490

[8 17 96] 479 -27490

[12 17 64] 479 15385

[24 -367 5632] 479 9085

[4 5 128] 487 17251

[62 -933 14048] 487 -17251

[16 5 32] 487 5535

[6 9 96] 495 -61232

[62 -311 1568] 495 -10929

[16 23 64] 495 -24036

[18 9 32] 495 2193

[4 4 128] 496 36488

[124 -372 1120] 496 19944

[124 -620 3104] 496 16216

[8 4 64] 496 36488

[64 -708 7840] 496 14936

[10 12 64] 496 -16216

[50 -252 1280] 496 -14936

[14 20 64] 496 -19944

[16 4 32] 496 3880

[20 28 64] 496 32760

[28 -428 6560] 496 -3880

	φ	= TB(9;−1,2,2,3,4)
		= 1⁻¹2²3¹4¹
		= η(τ)¹⁸(θ(τ,z)/η(τ))⁻¹(θ(τ,2z)/η(τ))²(θ(τ,3z)/η(τ))(θ(τ,4z)/η(τ))

2u	det(2u)	a(u, Borch(ψ))
[4 -53 704]	7	0
[8 -89 992]	15	0
[4 -25 160]	15	0
[12 -109 992]	23	0
[6 -13 32]	23	0
[6 -19 64]	23	1
[14 -42 128]	28	0
[14 -70 352]	28	0
[8 -42 224]	28	0
[8 -106 1408]	28	1
[16 -113 800]	31	0
[8 -113 1600]	31	0
[14 -47 160]	31	-1
[20 -101 512]	39	1
[10 -91 832]	39	0
[10 -101 1024]	39	0
[8 -27 96]	39	9
[24 -73 224]	47	-1
[4 9 32]	47	1
[16 -55 192]	47	-10
[2 4 32]	48	-1
[26 76 224]	48	-1
[6 12 32]	48	-1
[14 36 96]	48	-1
[2 3 32]	55	1
[14 -29 64]	55	0
[14 -99 704]	55	0
[8 -35 160]	55	25
[2 2 32]	60	2
[30 -210 1472]	60	2
[16 -50 160]	60	2
[16 -178 1984]	60	1
[10 -30 96]	60	18
[10 -50 256]	60	2
[8 -114 1632]	60	2
[2 1 32]	63	2
[16 -225 3168]	63	0
[12 -159 2112]	63	28
[8 -97 1184]	63	34
[2 0 32]	64	0
[2 8 64]	64	2
[2 16 160]	64	0
[4 8 32]	64	2
[20 56 160]	64	-2
[10 -24 64]	64	2
[10 -144 2080]	64	0
[36 -469 6112]	71	-3
[18 -235 3072]	71	3
[120 277 640]	71	3
[10 -53 288]	71	-3
[40 -441 4864]	79	2
[190 441 1024]	79	-2
[44 -397 3584]	87	-1
[22 -243 2688]	87	-11
[134 307 704]	87	-1
[46 -138 416]	92	2
[46 -230 1152]	92	2
[4 6 32]	92	-2
[24 -218 1984]	92	-1
[162 374 864]	92	2
[6 26 128]	92	34
[26 -86 288]	92	14
[12 -26 64]	92	-1
[12 -122 1248]	92	-18
[12 -134 1504]	92	34
[48 -337 2368]	95	5
[4 17 96]	95	7
[16 -81 416]	95	-7
[10 15 32]	95	5
[52 -261 1312]	103	-11
[4 5 32]	103	11
[56 -169 512]	111	14
[120 297 736]	111	29
[6 9 32]	111	-14
[10 23 64]	111	-29
[2 4 64]	112	12
[58 172 512]	112	12
[4 4 32]	112	12
[28 -84 256]	112	-20
[28 -140 704]	112	-12
[28 -196 1376]	112	20
[14 -28 64]	112	-20
[8 12 32]	112	12
[16 -84 448]	112	-20
[2 3 64]	119	-17
[30 -451 6784]	119	17
[20 -61 192]	119	-84
[90 221 544]	119	142
[12 -61 320]	119	-84
[12 -125 1312]	119	-142
[2 2 64]	124	-26
[62 -434 3040]	124	-26
[4 2 32]	124	-26
[16 -226 3200]	124	-40
[8 34 160]	124	262
[28 -94 320]	124	184
[10 14 32]	124	-26
[14 -158 1792]	124	262
[2 1 64]	127	-27
[4 1 32]	127	-27
[2 0 64]	128	0
[2 8 96]	128	-24
[2 16 192]	128	0
[4 0 32]	128	0
[4 16 96]	128	-32
[6 8 32]	128	-24
[22 -112 576]	128	32
[22 -288 3776]	128	32
[18 -256 3648]	128	0
[12 16 32]	128	0
[12 -64 352]	128	-32
[68 -885 11520]	135	41
[34 -171 864]	135	-162
[24 -267 2976]	135	-198
[8 11 32]	135	41
[72 -793 8736]	143	-27
[42 121 352]	143	137
[6 7 32]	143	-27
[6 25 128]	143	79
[18 -199 2208]	143	79
[12 -25 64]	143	-137
[76 -685 6176]	151	14
[38 -115 352]	151	70
[8 19 64]	151	-70
[10 13 32]	151	-14
[78 -234 704]	156	-28
[78 -390 1952]	156	-28
[40 -202 1024]	156	281
[40 -522 6816]	156	-44
[6 6 32]	156	28
[8 10 32]	156	28
[10 22 64]	156	-44
[80 -561 3936]	159	-72
[46 -143 448]	159	65
[28 -143 736]	159	65
[12 15 32]	159	-72
[84 -421 2112]	167	34
[42 -379 3424]	167	225
[28 -421 6336]	167	34
[14 -197 2784]	167	-225
[16 -37 96]	167	-282
[88 -265 800]	175	-81
[4 9 64]	175	-645
[8 9 32]	175	81
[2 4 96]	176	-49
[90 268 800]	176	-49
[30 -92 288]	176	-337
[30 -332 3680]	176	465
[30 -452 6816]	176	49
[10 12 32]	176	-49
[18 -92 480]	176	-337
[2 3 96]	183	125
[6 3 32]	183	125
[38 -125 416]	183	-82
[16 -227 3232]	183	3
[2 2 96]	188	126
[94 -658 4608]	188	126
[48 -146 448]	188	200
[48 -530 5856]	188	526
[6 2 32]	188	126
[6 14 64]	188	526
[142 350 864]	188	370
[8 18 64]	188	-200
[12 14 32]	188	126
[14 34 96]	188	-370
[2 1 96]	191	143
[6 1 32]	191	143
[32 -417 5440]	191	-353
[8 33 160]	191	-698
[20 -223 2496]	191	-698
[18 -95 512]	191	353
[18 -257 3680]	191	398
[2 0 96]	192	0
[2 8 128]	192	96
[2 16 224]	192	0
[4 8 64]	192	1072
[52 152 448]	192	112
[6 0 32]	192	0
[6 24 128]	192	-800
[8 8 32]	192	96
[24 -120 608]	192	800
[12 24 64]	192	112
[14 16 32]	192	0
[100 -1301 16928]	199	-219
[50 -651 8480]	199	405
[10 11 32]	199	-219
[10 21 64]	199	405
[104 -1145 12608]	207	139
[478 1113 2592]	207	-435
[26 -391 5888]	207	-139
[108 -973 8768]	215	-75
[54 -595 6560]	215	-1032
[36 -397 4384]	215	546
[6 13 64]	215	-1032
[12 13 32]	215	75
[110 -330 992]	220	152
[110 -550 2752]	220	152
[4 6 64]	220	-1953
[56 -506 4576]	220	1240
[28 -422 6368]	220	152
[10 10 32]	220	-152
[170 390 896]	220	1240
[112 -785 5504]	223	412
[4 17 128]	223	1124
[8 17 64]	223	1124
[14 15 32]	223	412
[116 -581 2912]	231	67
[4 5 64]	231	736
[40 -123 384]	231	1725
[30 -453 6848]	231	67
[24 -123 640]	231	1725
[120 -361 1088]	239	243
[248 617 1536]	239	1829
[48 -151 480]	239	-1742
[30 -151 768]	239	-1742
[24 -361 5440]	239	243
[198 457 1056]	239	1829
[2 4 128]	240	28
[122 364 1088]	240	28
[4 4 64]	240	1660
[60 -180 544]	240	-1252
[60 -300 1504]	240	644
[6 12 64]	240	-644
[8 4 32]	240	28
[32 -356 3968]	240	2292
[10 20 64]	240	1252
[12 12 32]	240	28
[16 -36 96]	240	-2684
[16 -228 3264]	240	3556
[2 3 128]	247	-499
[62 -931 13984]	247	773
[8 3 32]	247	-499
[2 2 128]	252	-210
[126 -882 6176]	252	-210
[4 2 64]	252	-423
[42 -126 384]	252	2078
[42 -210 1056]	252	2750
[8 2 32]	252	-210
[24 -126 672]	252	2078
[14 14 32]	252	-210
[18 -258 3712]	252	-3726
[2 1 128]	255	-334
[4 1 64]	255	-255
[44 -575 7520]	255	2196
[8 1 32]	255	-334
[14 33 96]	255	2196
[2 0 128]	256	0
[2 8 160]	256	-32
[4 0 64]	256	0
[4 16 128]	256	-1824
[8 0 32]	256	0
[8 16 64]	256	-1824
[8 32 160]	256	-896
[26 -288 3200]	256	-896
[26 -392 5920]	256	32
[16 16 32]	256	0
[20 -288 4160]	256	0
[132 -1717 22336]	263	504
[66 -331 1664]	263	-6278
[408 949 2208]	263	-6278
[22 -331 4992]	263	-504
[136 -1497 16480]	271	-276
[74 217 640]	271	4697
[28 -423 6400]	271	276
[212 487 1120]	271	-4697
[140 -1261 11360]	279	151
[70 -211 640]	279	3591
[268 621 1440]	279	3591
[20 -301 4544]	279	151
[142 -426 1280]	284	-334
[142 -710 3552]	284	-334
[72 -362 1824]	284	3426
[72 -938 12224]	284	-1965
[450 1046 2432]	284	3426
[6 26 160]	284	3634
[58 -182 576]	284	-1058
[36 -182 928]	284	-1058
[30 -154 800]	284	-3634
[30 -454 6880]	284	-334
[24 -362 5472]	284	-334
[240 554 1280]	284	1965
[78 -239 736]	287	1051
[48 -241 1216]	287	-1551
[338 785 1824]	287	1051
[18 -271 4096]	287	1052
[148 -741 3712]	295	-684
[38 -421 4672]	295	-4595
[10 5 32]	295	684
[226 517 1184]	295	5301
[152 -457 1376]	303	-381
[4 9 96]	303	-9990
[6 9 64]	303	-9990
[26 -393 5952]	303	-381
[2 4 160]	304	365
[154 460 1376]	304	365
[10 4 32]	304	365
[22 -332 5024]	304	-365
[2 3 160]	311	1033
[52 -157 480]	311	-6283
[10 3 32]	311	1033
[12 29 96]	311	6283
[16 35 96]	311	-8729
[240 547 1248]	311	1472
[2 2 160]	316	-368
[80 -242 736]	316	-400
[80 -882 9728]	316	8250
[380 882 2048]	316	-8250
[10 2 32]	316	-368
[310 718 1664]	316	-400
[20 -302 4576]	316	368
[2 1 160]	319	116
[50 -159 512]	319	-5639
[10 1 32]	319	116
[32 -353 3904]	319	5639
[20 -289 4192]	319	10836
[2 0 160]	320	0
[2 8 192]	320	-824
[4 8 96]	320	13192
[84 248 736]	320	4600
[6 8 64]	320	13192
[54 -272 1376]	320	-4992
[54 -704 9184]	320	5888
[10 0 32]	320	0
[28 -424 6432]	320	824
[14 32 96]	320	5888
[254 584 1344]	320	-4600
[18 -272 4128]	320	0
[164 -2133 27744]	327	-72
[82 -1067 13888]	327	6787
[56 -619 6848]	327	-8981
[42 -213 1088]	327	8981
[282 651 1504]	327	-6787
[24 -363 5504]	327	72
[168 -1849 20352]	335	-215
[766 1785 4160]	335	-5334
[6 7 64]	335	5334
[6 25 160]	335	-285
[36 -185 960]	335	285
[30 -455 6912]	335	215
[86 -947 10432]	343	-12430
[422 979 2272]	343	12430
[22 -333 5056]	343	196
[174 -522 1568]	348	-186
[174 -870 4352]	348	-186
[4 6 96]	348	-17846
[6 6 64]	348	-17846
[44 -486 5376]	348	-2661
[12 6 32]	348	186
[26 -394 5984]	348	-186
[268 614 1408]	348	13061
[4 17 160]	351	10224
[60 -303 1536]	351	1215
[352 815 1888]	351	-10224
[20 -303 4608]	351	-316
[180 -901 4512]	359	1478
[4 5 96]	359	2996
[60 -901 13536]	359	-2996
[12 5 32]	359	-1478
[184 -553 1664]	367	237
[376 937 2336]	367	13158
[28 -425 6464]	367	237
[296 681 1568]	367	13158
[2 4 192]	368	-932
[4 4 96]	368	10044
[92 -276 832]	368	-1860
[92 -460 2304]	368	9636
[62 -188 576]	368	3644
[62 -684 7552]	368	8388
[62 -932 14016]	368	-10044
[8 12 64]	368	-9636
[48 -244 1248]	368	-8388
[12 4 32]	368	-932
[12 28 96]	368	-3644
[324 748 1728]	368	-1860
[24 -364 5536]	368	932
[282 644 1472]	368	-21540
[2 3 192]	375	-283
[94 -1411 21184]	375	9185
[6 3 64]	375	-9185
[12 3 32]	375	-283
[2 2 192]	380	1900
[4 2 96]	380	-1732
[6 2 64]	380	-1732
[6 14 96]	380	-9092
[60 -190 608]	380	7340
[38 -190 960]	380	7340
[12 2 32]	380	1900
[16 34 96]	380	-15412
[22 -334 5088]	380	-1900
[20 30 64]	380	-18337
[2 1 192]	383	961
[4 1 96]	383	10380
[6 1 64]	383	10380
[64 -833 10848]	383	-19070
[12 1 32]	383	961
[14 31 96]	383	-19070
[2 0 192]	384	0
[2 8 224]	384	1872
[4 0 96]	384	0
[4 16 160]	384	-15232
[6 0 64]	384	0
[6 24 160]	384	-17680
[10 24 96]	384	-17680
[394 912 2112]	384	15232
[12 0 32]	384	0
[30 -456 6944]	384	-1872
[20 -304 4640]	384	0
[22 32 64]	384	0
[98 -491 2464]	391	-30504
[8 11 64]	391	30504
[26 -395 6016]	391	1840
[200 -2201 24224]	399	1771
[50 -551 6080]	399	5982
[14 7 32]	399	1771
[310 711 1632]	399	-18220
[102 -307 928]	407	19594
[68 -749 8256]	407	15581
[6 13 96]	407	-27430
[8 19 96]	407	15581
[366 845 1952]	407	19594
[24 -365 5568]	407	-1514
[206 -1030 5152]	412	2422
[104 -522 2624]	412	9467
[104 -1354 17632]	412	-4314
[8 10 64]	412	-9467
[14 6 32]	412	-2422
[338 778 1792]	412	4314
[28 -426 6496]	412	2422
[110 -335 1024]	415	-2563
[10 15 64]	415	2563
[22 -335 5120]	415	-4630
[212 -1061 5312]	423	190
[72 -219 672]	423	7320
[12 27 96]	423	-7320
[14 5 32]	423	-190
[18 27 64]	423	-5979
[4 9 128]	431	-31856
[80 -247 768]	431	-14559
[8 9 64]	431	-31856
[10 23 96]	431	14559
[30 -457 6976]	431	323
[2 4 224]	432	-308
[6 12 96]	432	27915
[14 4 32]	432	-308
[26 -396 6048]	432	308
[2 3 224]	439	-4140
[70 -221 704]	439	3288
[44 -221 1120]	439	3288
[14 3 32]	439	-4140
[20 29 64]	439	-17914
[2 2 224]	444	-1500
[112 -338 1024]	444	-16191
[112 -1234 13600]	444	32580
[74 -222 672]	444	6228
[74 -370 1856]	444	24036
[8 18 96]	444	-24036
[10 14 64]	444	32580
[12 18 64]	444	16191
[14 2 32]	444	-1500
[14 30 96]	444	-6228
[24 -366 5600]	444	1500
[2 1 224]	447	-1524
[14 1 32]	447	-1524
[16 33 96]	447	46612
[22 31 64]	447	30999
[2 0 224]	448	0
[4 8 128]	448	30528
[8 8 64]	448	30528
[56 -280 1408]	448	-6592
[14 0 32]	448	0
[16 8 32]	448	1536
[16 24 64]	448	15168
[22 -336 5152]	448	0
[114 -1483 19296]	455	26520
[696 1621 3776]	455	-60379
[14 21 64]	455	26520
[28 -427 6528]	455	-2281
[1054 2457 5728]	463	-10490
[58 -871 13088]	463	-10490
[16 7 32]	463	-1473
[118 -1299 14304]	471	-29157
[10 13 64]	471	-29157
[26 -397 6080]	471	2024
[4 6 128]	476	-34700
[738 1718 4000]	476	60350
[6 26 192]	476	37838
[90 -278 864]	476	-28206
[60 -902 13568]	476	34700
[10 22 96]	476	28206
[12 26 96]	476	37838
[16 6 32]	476	3762
[18 26 64]	476	-33218
[30 -458 7008]	476	-3762
[4 17 192]	479	15385
[80 -401 2016]	479	27490
[8 17 96]	479	-27490
[12 17 64]	479	15385
[24 -367 5632]	479	9085
[4 5 128]	487	17251
[62 -933 14048]	487	-17251
[16 5 32]	487	5535
[6 9 96]	495	-61232
[62 -311 1568]	495	-10929
[16 23 64]	495	-24036
[18 9 32]	495	2193
[4 4 128]	496	36488
[124 -372 1120]	496	19944
[124 -620 3104]	496	16216
[8 4 64]	496	36488
[64 -708 7840]	496	14936
[10 12 64]	496	-16216
[50 -252 1280]	496	-14936
[14 20 64]	496	-19944
[16 4 32]	496	3880
[20 28 64]	496	32760
[28 -428 6560]	496	-3880

A Borcherds Product in S9(K(16))−

A Borcherds Product in S₉(K(16))⁻