A Borcherds Product in S

A Borcherds Product in S₉(K(16))⁻

(Filename: BP-9-16-1-0-4.html)

properties | c vector | θ vector | ψ expansion | Borch(ψ) coefficients

PROPERTIES OF ψ AND BORCH(ψ)

We will define a weakly holomorphic Jacobi form ψ of weight 0 and index 16, such that it and its Borcherds lift Borch(ψ) have the following list of properties.

The singular part of ψ truncated up to q^(16/4) is
(18 + ζ^(-3) + 7/ζ^2 - 5/ζ - 5*ζ + 7*ζ^2 + ζ^3)
+q(ζ^(-9) - 5/ζ^8 - 5*ζ^8 + ζ^9)
+q^2(ζ^(-12) + ζ^12)
+q^3(13/ζ^14 + 13*ζ^14)
+q^4(12/ζ^16 + 12*ζ^16)
From the truncated singular part of ψ, the leading Jacobi coefficient of Borch(ψ) is the theta block
φ = TB(9;−1,−1,−1,−1,−1,2,2,2,2,2,2,2,3)

= 1⁻⁵2⁷3¹

= η(τ)¹⁸(θ(τ,z)/η(τ))⁻⁵(θ(τ,2z)/η(τ))⁷(θ(τ,3z)/η(τ))
This theta block has q-order of vanishing 1. This theta block has index 1*16, and so Borch(ψ) begins with Jacobi coefficient #1.
From the truncated singular part of ψ, we compute that Borch(ψ) is a symmetric form, and so the Fricke sign of Borch(ψ) is −1.
We need to check that certain Fourier coefficients of Borch(ψ) are zero to determine that Borch(ψ) is a cusp form. For this weight and level and Fricke sign, an expansion of Borch(ψ) to 4 Fourier-Jacobi coefficients was needed to show that Borch(ψ) is a cusp form.
From the truncated singular part of ψ, we can compute that all Humbert divisors of Borch(ψ) have nonnegative multiplicities, and hence Borch(ψ) is holomorphic.
(D,r) multiplicity of Hum(D,r)
(1,1) 3

(4,2) 7

(4,14) 13

(9,3) 1

(16,12) 1

(17,9) 1
From the singular part above, we compute that the valuation Ord(ψ) is -0.265625, and hence we need to multiply ψ by Δ^1 to get a Jacobi cusp form. The definition of ψ is
ψ = c · θ/ Δ^1.
Here c is a vector of coefficients, θ is a basis of of J_12,16^cusp, and Δ is the weight 12 elliptic cusp form. Both c and θ will be given in tables.

(D,r)	multiplicity of Hum(D,r)
(1,1)	3
(4,2)	7
(4,14)	13
(9,3)	1
(16,12)	1
(17,9)	1

THE VECTOR c (return to top)

The vector c has components given by the following table.

c₁	-3220691602544783/1216138659597461916
c₂	621128189571968111/1182086777128732982352
c₃	-215472375205962837605/71811771710570528677884
c₄	13883588881011716912/1994771436404736907719
c₅	28433330056510672201/3989542872809473815438
c₆	243979955749466511755/71811771710570528677884
c₇	215472375205962837605/71811771710570528677884
c₈	-91669611644775083/1329847624269824605146
c₉	240307348155139645/11968628618428421446314
c₁₀	-3552001488899257547/7979085745618947630876
c₁₁	3489883017654373/73880423570545811397
c₁₂	12390700584905985967/17952942927642632169471

THE VECTOR θ (return to top)

The basis of J_12,16^cusp (with dimension 12) is given by the following theta blocks possibly with index lowering operators denoted by W.

θ₁	TB(12;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,3,3,4)\|W_2
θ₂	TB(12;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3)\|W_2
θ₃	TB(12;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,8)\|W_3
θ₄	TB(12;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,4,7)\|W_3
θ₅	TB(12;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,4,4,4,5)\|W_3
θ₆	TB(12;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,3,3,3,4,4,4)\|W_3
θ₇	TB(12;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,7)\|W_3
θ₈	TB(12;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,5,5)\|W_3
θ₉	TB(12;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,3,3,3,3,3,3,4)\|W_3
θ₁₀	TB(12;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3)\|W_3
θ₁₁	TB(12;1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,5)\|W_3
θ₁₂	TB(12;1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3)\|W_3

EXPANSION OF ψ (return to top)

The expansion of ψ up to q^(16/4) is

(18 + ζ^(-3) + 7/ζ^2 - 5/ζ - 5*ζ + 7*ζ^2 + ζ^3)
+q(154 + ζ^(-9) - 5/ζ^8 + 7/ζ^7 - 21/ζ^6 - 9/ζ^5 - 8/ζ^4 + 51/ζ^3 - 43/ζ^2 - 50/ζ - 50*ζ - 43*ζ^2 + 51*ζ^3 - 8*ζ^4 - 9*ζ^5 - 21*ζ^6 + 7*ζ^7 - 5*ζ^8 + ζ^9)
+q^2(1020 + ζ^(-12) + 12/ζ^11 + ζ^(-10) - 50/ζ^9 + 34/ζ^8 + 48/ζ^7 - 102/ζ^6 - 93/ζ^5 - 33/ζ^4 + 451/ζ^3 - 411/ζ^2 - 368/ζ - 368*ζ - 411*ζ^2 + 451*ζ^3 - 33*ζ^4 - 93*ζ^5 - 102*ζ^6 + 48*ζ^7 + 34*ζ^8 - 50*ζ^9 + ζ^10 + 12*ζ^11 + ζ^12)
+q^3(5096 + 13/ζ^14 + 2/ζ^13 - 56/ζ^12 + 137/ζ^11 + 62/ζ^10 - 479/ζ^9 + 364/ζ^8 + 384/ζ^7 - 540/ζ^6 - 574/ζ^5 - 40/ζ^4 + 2415/ζ^3 - 2351/ζ^2 - 1885/ζ - 1885*ζ - 2351*ζ^2 + 2415*ζ^3 - 40*ζ^4 - 574*ζ^5 - 540*ζ^6 + 384*ζ^7 + 364*ζ^8 - 479*ζ^9 + 62*ζ^10 + 137*ζ^11 - 56*ζ^12 + 2*ζ^13 + 13*ζ^14)
+q^4(21208 + 12/ζ^16 - 15/ζ^15 + 63/ζ^14 - 5/ζ^13 - 480/ζ^12 + 938/ζ^11 + 460/ζ^10 - 2768/ζ^9 + 1928/ζ^8 + 2020/ζ^7 - 2361/ζ^6 - 2745/ζ^5 + 224/ζ^4 + 10518/ζ^3 - 10450/ζ^2 - 7943/ζ - 7943*ζ - 10450*ζ^2 + 10518*ζ^3 + 224*ζ^4 - 2745*ζ^5 - 2361*ζ^6 + 2020*ζ^7 + 1928*ζ^8 - 2768*ζ^9 + 460*ζ^10 + 938*ζ^11 - 480*ζ^12 - 5*ζ^13 + 63*ζ^14 - 15*ζ^15 + 12*ζ^16)

COEFFICIENTS OF Borch(ψ) (return to top)

Use the notation

[a b c ]

a	b
b	c

Here is a list of some Fourier coefficients of Borch(ψ)

2u det(2u) a(u, Borch(ψ))

[4 -53 704] 7 0

[8 -89 992] 15 0

[4 -25 160] 15 0

[12 -109 992] 23 0

[6 -13 32] 23 0

[6 -19 64] 23 0

[14 -42 128] 28 0

[14 -70 352] 28 1

[8 -42 224] 28 0

[8 -106 1408] 28 0

[16 -113 800] 31 0

[8 -113 1600] 31 0

[14 -47 160] 31 -1

[20 -101 512] 39 5

[10 -91 832] 39 0

[10 -101 1024] 39 0

[8 -27 96] 39 1

[24 -73 224] 47 -1

[4 9 32] 47 1

[16 -55 192] 47 -5

[2 4 32] 48 -8

[26 76 224] 48 0

[6 12 32] 48 0

[14 36 96] 48 0

[2 3 32] 55 1

[14 -29 64] 55 0

[14 -99 704] 55 0

[8 -35 160] 55 6

[2 2 32] 60 19

[30 -210 1472] 60 0

[16 -50 160] 60 0

[16 -178 1984] 60 0

[10 -30 96] 60 -1

[10 -50 256] 60 0

[8 -114 1632] 60 0

[2 1 32] 63 22

[16 -225 3168] 63 0

[12 -159 2112] 63 0

[8 -97 1184] 63 3

[2 0 32] 64 0

[2 8 64] 64 12

[2 16 160] 64 0

[4 8 32] 64 12

[20 56 160] 64 0

[10 -24 64] 64 0

[10 -144 2080] 64 0

[36 -469 6112] 71 -7

[18 -235 3072] 71 -1

[120 277 640] 71 7

[10 -53 288] 71 1

[40 -441 4864] 79 38

[190 441 1024] 79 -38

[44 -397 3584] 87 -21

[22 -243 2688] 87 -10

[134 307 704] 87 -21

[46 -138 416] 92 51

[46 -230 1152] 92 -48

[4 6 32] 92 48

[24 -218 1984] 92 0

[162 374 864] 92 51

[6 26 128] 92 -16

[26 -86 288] 92 -15

[12 -26 64] 92 0

[12 -122 1248] 92 0

[12 -134 1504] 92 -16

[48 -337 2368] 95 -35

[4 17 96] 95 10

[16 -81 416] 95 -10

[10 15 32] 95 -35

[52 -261 1312] 103 -19

[4 5 32] 103 19

[56 -169 512] 111 118

[120 297 736] 111 6

[6 9 32] 111 -118

[10 23 64] 111 -6

[2 4 64] 112 -24

[58 172 512] 112 104

[4 4 32] 112 -24

[28 -84 256] 112 4

[28 -140 704] 112 28

[28 -196 1376] 112 0

[14 -28 64] 112 0

[8 12 32] 112 104

[16 -84 448] 112 4

[2 3 64] 119 -81

[30 -451 6784] 119 81

[20 -61 192] 119 6

[90 221 544] 119 -13

[12 -61 320] 119 6

[12 -125 1312] 119 13

[2 2 64] 124 -144

[62 -434 3040] 124 -98

[4 2 32] 124 -144

[16 -226 3200] 124 0

[8 34 160] 124 -80

[28 -94 320] 124 -16

[10 14 32] 124 -98

[14 -158 1792] 124 -80

[2 1 64] 127 -127

[4 1 32] 127 -127

[2 0 64] 128 0

[2 8 96] 128 -160

[2 16 192] 128 0

[4 0 32] 128 0

[4 16 96] 128 84

[6 8 32] 128 -160

[22 -112 576] 128 -84

[22 -288 3776] 128 4

[18 -256 3648] 128 0

[12 16 32] 128 0

[12 -64 352] 128 -4

[68 -885 11520] 135 185

[34 -171 864] 135 91

[24 -267 2976] 135 30

[8 11 32] 135 185

[72 -793 8736] 143 -239

[42 121 352] 143 58

[6 7 32] 143 -239

[6 25 128] 143 -34

[18 -199 2208] 143 -34

[12 -25 64] 143 -58

[76 -685 6176] 151 138

[38 -115 352] 151 100

[8 19 64] 151 -100

[10 13 32] 151 -138

[78 -234 704] 156 -400

[78 -390 1952] 156 237

[40 -202 1024] 156 272

[40 -522 6816] 156 -32

[6 6 32] 156 -237

[8 10 32] 156 400

[10 22 64] 156 -32

[80 -561 3936] 159 28

[46 -143 448] 159 -129

[28 -143 736] 159 -129

[12 15 32] 159 28

[84 -421 2112] 167 -106

[42 -379 3424] 167 167

[28 -421 6336] 167 -106

[14 -197 2784] 167 -167

[16 -37 96] 167 1

[88 -265 800] 175 -865

[4 9 64] 175 -335

[8 9 32] 175 865

[2 4 96] 176 544

[90 268 800] 176 -680

[30 -92 288] 176 32

[30 -332 3680] 176 32

[30 -452 6816] 176 -544

[10 12 32] 176 -680

[18 -92 480] 176 32

[2 3 96] 183 693

[6 3 32] 183 693

[38 -125 416] 183 5

[16 -227 3232] 183 258

[2 2 96] 188 518

[94 -658 4608] 188 608

[48 -146 448] 188 496

[48 -530 5856] 188 -16

[6 2 32] 188 518

[6 14 64] 188 -16

[142 350 864] 188 -82

[8 18 64] 188 -496

[12 14 32] 188 608

[14 34 96] 188 82

[2 1 96] 191 203

[6 1 32] 191 203

[32 -417 5440] 191 -30

[8 33 160] 191 -314

[20 -223 2496] 191 -314

[18 -95 512] 191 30

[18 -257 3680] 191 -280

[2 0 96] 192 0

[2 8 128] 192 832

[2 16 224] 192 0

[4 8 64] 192 48

[52 152 448] 192 240

[6 0 32] 192 0

[6 24 128] 192 168

[8 8 32] 192 832

[24 -120 608] 192 -168

[12 24 64] 192 240

[14 16 32] 192 0

[100 -1301 16928] 199 -1247

[50 -651 8480] 199 321

[10 11 32] 199 -1247

[10 21 64] 199 321

[104 -1145 12608] 207 319

[478 1113 2592] 207 -193

[26 -391 5888] 207 -319

[108 -973 8768] 215 -159

[54 -595 6560] 215 364

[36 -397 4384] 215 -259

[6 13 64] 215 364

[12 13 32] 215 159

[110 -330 992] 220 1065

[110 -550 2752] 220 80

[4 6 64] 220 -496

[56 -506 4576] 220 544

[28 -422 6368] 220 80

[10 10 32] 220 -1065

[170 390 896] 220 544

[112 -785 5504] 223 1632

[4 17 128] 223 -427

[8 17 64] 223 -427

[14 15 32] 223 1632

[116 -581 2912] 231 967

[4 5 64] 231 -561

[40 -123 384] 231 299

[30 -453 6848] 231 967

[24 -123 640] 231 299

[120 -361 1088] 239 1895

[248 617 1536] 239 576

[48 -151 480] 239 -333

[30 -151 768] 239 -333

[24 -361 5440] 239 1895

[198 457 1056] 239 576

[2 4 128] 240 -1976

[122 364 1088] 240 456

[4 4 64] 240 1012

[60 -180 544] 240 -1384

[60 -300 1504] 240 -1840

[6 12 64] 240 1840

[8 4 32] 240 -1976

[32 -356 3968] 240 -68

[10 20 64] 240 1384

[12 12 32] 240 456

[16 -36 96] 240 240

[16 -228 3264] 240 556

[2 3 128] 247 -2339

[62 -931 13984] 247 -2104

[8 3 32] 247 -2339

[2 2 128] 252 -1760

[126 -882 6176] 252 151

[4 2 64] 252 800

[42 -126 384] 252 144

[42 -210 1056] 252 1740

[8 2 32] 252 -1760

[24 -126 672] 252 144

[14 14 32] 252 151

[18 -258 3712] 252 -256

[2 1 128] 255 -474

[4 1 64] 255 -727

[44 -575 7520] 255 680

[8 1 32] 255 -474

[14 33 96] 255 680

[2 0 128] 256 0

[2 8 160] 256 -1920

[4 0 64] 256 0

[4 16 128] 256 352

[8 0 32] 256 0

[8 16 64] 256 352

[8 32 160] 256 -272

[26 -288 3200] 256 -272

[26 -392 5920] 256 1920

[16 16 32] 256 0

[20 -288 4160] 256 0

[132 -1717 22336] 263 2916

[66 -331 1664] 263 -2027

[408 949 2208] 263 -2027

[22 -331 4992] 263 -2916

[136 -1497 16480] 271 500

[74 217 640] 271 878

[28 -423 6400] 271 -500

[212 487 1120] 271 -878

[140 -1261 11360] 279 -841

[70 -211 640] 279 -460

[268 621 1440] 279 -460

[20 -301 4544] 279 -841

[142 -426 1280] 284 -880

[142 -710 3552] 284 -2203

[72 -362 1824] 284 320

[72 -938 12224] 284 -2096

[450 1046 2432] 284 320

[6 26 160] 284 -1235

[58 -182 576] 284 -32

[36 -182 928] 284 -32

[30 -154 800] 284 1235

[30 -454 6880] 284 -2203

[24 -362 5472] 284 -880

[240 554 1280] 284 2096

[78 -239 736] 287 1439

[48 -241 1216] 287 2964

[338 785 1824] 287 1439

[18 -271 4096] 287 7152

[148 -741 3712] 295 -3320

[38 -421 4672] 295 1025

[10 5 32] 295 3320

[226 517 1184] 295 1605

[152 -457 1376] 303 359

[4 9 96] 303 -497

[6 9 64] 303 -497

[26 -393 5952] 303 359

[2 4 160] 304 3016

[154 460 1376] 304 6304

[10 4 32] 304 3016

[22 -332 5024] 304 -6304

[2 3 160] 311 3373

[52 -157 480] 311 -1330

[10 3 32] 311 3373

[12 29 96] 311 1330

[16 35 96] 311 -2696

[240 547 1248] 311 -2854

[2 2 160] 316 5130

[80 -242 736] 316 1040

[80 -882 9728] 316 -5600

[380 882 2048] 316 5600

[10 2 32] 316 5130

[310 718 1664] 316 1040

[20 -302 4576] 316 9424

[2 1 160] 319 2872

[50 -159 512] 319 -735

[10 1 32] 319 2872

[32 -353 3904] 319 735

[20 -289 4192] 319 -3897

[2 0 160] 320 0

[2 8 192] 320 1200

[4 8 96] 320 2504

[84 248 736] 320 1304

[6 8 64] 320 2504

[54 -272 1376] 320 320

[54 -704 9184] 320 1920

[10 0 32] 320 0

[28 -424 6432] 320 -1200

[14 32 96] 320 1920

[254 584 1344] 320 -1304

[18 -272 4128] 320 0

[164 -2133 27744] 327 1060

[82 -1067 13888] 327 1203

[56 -619 6848] 327 939

[42 -213 1088] 327 -939

[282 651 1504] 327 -1203

[24 -363 5504] 327 -1060

[168 -1849 20352] 335 -295

[766 1785 4160] 335 -1947

[6 7 64] 335 1947

[6 25 160] 335 -230

[36 -185 960] 335 230

[30 -455 6912] 335 295

[86 -947 10432] 343 -4975

[422 979 2272] 343 4975

[22 -333 5056] 343 2884

[174 -522 1568] 348 -703

[174 -870 4352] 348 816

[4 6 96] 348 -3488

[6 6 64] 348 -3488

[44 -486 5376] 348 112

[12 6 32] 348 -816

[26 -394 5984] 348 -703

[268 614 1408] 348 -16

[4 17 160] 351 3821

[60 -303 1536] 351 -564

[352 815 1888] 351 -3821

[20 -303 4608] 351 -5272

[180 -901 4512] 359 5126

[4 5 96] 359 -6279

[60 -901 13536] 359 6279

[12 5 32] 359 -5126

[184 -553 1664] 367 -3695

[376 937 2336] 367 5307

[28 -425 6464] 367 -3695

[296 681 1568] 367 5307

[2 4 192] 368 -3768

[4 4 96] 368 -2672

[92 -276 832] 368 -2380

[92 -460 2304] 368 1388

[62 -188 576] 368 -4368

[62 -684 7552] 368 6832

[62 -932 14016] 368 2672

[8 12 64] 368 -1388

[48 -244 1248] 368 -6832

[12 4 32] 368 -3768

[12 28 96] 368 4368

[324 748 1728] 368 -2380

[24 -364 5536] 368 16440

[282 644 1472] 368 -1096

[2 3 192] 375 -227

[94 -1411 21184] 375 510

[6 3 64] 375 -510

[12 3 32] 375 -227

[2 2 192] 380 -6208

[4 2 96] 380 -4208

[6 2 64] 380 -4208

[6 14 96] 380 -8351

[60 -190 608] 380 -4512

[38 -190 960] 380 -4512

[12 2 32] 380 -6208

[16 34 96] 380 -6784

[22 -334 5088] 380 -23357

[20 30 64] 380 -2480

[2 1 192] 383 -3551

[4 1 96] 383 -5365

[6 1 64] 383 -5365

[64 -833 10848] 383 -2748

[12 1 32] 383 -3551

[14 31 96] 383 -2748

[2 0 192] 384 0

[2 8 224] 384 192

[4 0 96] 384 0

[4 16 160] 384 8992

[6 0 64] 384 0

[6 24 160] 384 1120

[10 24 96] 384 1120

[394 912 2112] 384 -8992

[12 0 32] 384 0

[30 -456 6944] 384 -192

[20 -304 4640] 384 0

[22 32 64] 384 0

[98 -491 2464] 391 3559

[8 11 64] 391 -3559

[26 -395 6016] 391 14000

[200 -2201 24224] 399 -1765

[50 -551 6080] 399 -7048

[14 7 32] 399 -1765

[310 711 1632] 399 -7323

[102 -307 928] 407 4171

[68 -749 8256] 407 11867

[6 13 96] 407 -12317

[8 19 96] 407 11867

[366 845 1952] 407 4171

[24 -365 5568] 407 -3326

[206 -1030 5152] 412 14641

[104 -522 2624] 412 6224

[104 -1354 17632] 412 -4640

[8 10 64] 412 -6224

[14 6 32] 412 -14641

[338 778 1792] 412 4640

[28 -426 6496] 412 4016

[110 -335 1024] 415 -7194

[10 15 64] 415 7194

[22 -335 5120] 415 -25514

[212 -1061 5312] 423 5230

[72 -219 672] 423 2901

[12 27 96] 423 -2901

[14 5 32] 423 -5230

[18 27 64] 423 -2483

[4 9 128] 431 -2663

[80 -247 768] 431 4011

[8 9 64] 431 -2663

[10 23 96] 431 -4011

[30 -457 6976] 431 -4537

[2 4 224] 432 2656

[6 12 96] 432 -96

[14 4 32] 432 2656

[26 -396 6048] 432 -4864

[2 3 224] 439 -9748

[70 -221 704] 439 -2056

[44 -221 1120] 439 -2056

[14 3 32] 439 -9748

[20 29 64] 439 -2608

[2 2 224] 444 -5435

[112 -338 1024] 444 5344

[112 -1234 13600] 444 8240

[74 -222 672] 444 8249

[74 -370 1856] 444 -5968

[8 18 96] 444 5968

[10 14 64] 444 8240

[12 18 64] 444 -5344

[14 2 32] 444 -5435

[14 30 96] 444 -8249

[24 -366 5600] 444 1520

[2 1 224] 447 -11704

[14 1 32] 447 -11704

[16 33 96] 447 4609

[22 31 64] 447 1930

[2 0 224] 448 0

[4 8 128] 448 3648

[8 8 64] 448 3648

[56 -280 1408] 448 12480

[14 0 32] 448 0

[16 8 32] 448 13312

[16 24 64] 448 6720

[22 -336 5152] 448 0

[114 -1483 19296] 455 -4428

[696 1621 3776] 455 -1703

[14 21 64] 455 -4428

[28 -427 6528] 455 -8857

[1054 2457 5728] 463 -8055

[58 -871 13088] 463 -8055

[16 7 32] 463 -4141

[118 -1299 14304] 471 11292

[10 13 64] 471 11292

[26 -397 6080] 471 -2896

[4 6 128] 476 11248

[738 1718 4000] 476 14502

[6 26 192] 476 -7600

[90 -278 864] 476 15174

[60 -902 13568] 476 -11248

[10 22 96] 476 -15174

[12 26 96] 476 -7600

[16 6 32] 476 25872

[18 26 64] 476 -4256

[30 -458 7008] 476 -11238

[4 17 192] 479 -7733

[80 -401 2016] 479 -5695

[8 17 96] 479 5695

[12 17 64] 479 -7733

[24 -367 5632] 479 47393

[4 5 128] 487 16300

[62 -933 14048] 487 -16300

[16 5 32] 487 37195

[6 9 96] 495 -11427

[62 -311 1568] 495 10395

[16 23 64] 495 21637

[18 9 32] 495 1685

[4 4 128] 496 11864

[124 -372 1120] 496 11216

[124 -620 3104] 496 -6112

[8 4 64] 496 11864

[64 -708 7840] 496 -2848

[10 12 64] 496 6112

[50 -252 1280] 496 2848

[14 20 64] 496 -11216

[16 4 32] 496 23216

[20 28 64] 496 -5464

[28 -428 6560] 496 -17328

	φ	= TB(9;−1,−1,−1,−1,−1,2,2,2,2,2,2,2,3)
		= 1⁻⁵2⁷3¹
		= η(τ)¹⁸(θ(τ,z)/η(τ))⁻⁵(θ(τ,2z)/η(τ))⁷(θ(τ,3z)/η(τ))

2u	det(2u)	a(u, Borch(ψ))
[4 -53 704]	7	0
[8 -89 992]	15	0
[4 -25 160]	15	0
[12 -109 992]	23	0
[6 -13 32]	23	0
[6 -19 64]	23	0
[14 -42 128]	28	0
[14 -70 352]	28	1
[8 -42 224]	28	0
[8 -106 1408]	28	0
[16 -113 800]	31	0
[8 -113 1600]	31	0
[14 -47 160]	31	-1
[20 -101 512]	39	5
[10 -91 832]	39	0
[10 -101 1024]	39	0
[8 -27 96]	39	1
[24 -73 224]	47	-1
[4 9 32]	47	1
[16 -55 192]	47	-5
[2 4 32]	48	-8
[26 76 224]	48	0
[6 12 32]	48	0
[14 36 96]	48	0
[2 3 32]	55	1
[14 -29 64]	55	0
[14 -99 704]	55	0
[8 -35 160]	55	6
[2 2 32]	60	19
[30 -210 1472]	60	0
[16 -50 160]	60	0
[16 -178 1984]	60	0
[10 -30 96]	60	-1
[10 -50 256]	60	0
[8 -114 1632]	60	0
[2 1 32]	63	22
[16 -225 3168]	63	0
[12 -159 2112]	63	0
[8 -97 1184]	63	3
[2 0 32]	64	0
[2 8 64]	64	12
[2 16 160]	64	0
[4 8 32]	64	12
[20 56 160]	64	0
[10 -24 64]	64	0
[10 -144 2080]	64	0
[36 -469 6112]	71	-7
[18 -235 3072]	71	-1
[120 277 640]	71	7
[10 -53 288]	71	1
[40 -441 4864]	79	38
[190 441 1024]	79	-38
[44 -397 3584]	87	-21
[22 -243 2688]	87	-10
[134 307 704]	87	-21
[46 -138 416]	92	51
[46 -230 1152]	92	-48
[4 6 32]	92	48
[24 -218 1984]	92	0
[162 374 864]	92	51
[6 26 128]	92	-16
[26 -86 288]	92	-15
[12 -26 64]	92	0
[12 -122 1248]	92	0
[12 -134 1504]	92	-16
[48 -337 2368]	95	-35
[4 17 96]	95	10
[16 -81 416]	95	-10
[10 15 32]	95	-35
[52 -261 1312]	103	-19
[4 5 32]	103	19
[56 -169 512]	111	118
[120 297 736]	111	6
[6 9 32]	111	-118
[10 23 64]	111	-6
[2 4 64]	112	-24
[58 172 512]	112	104
[4 4 32]	112	-24
[28 -84 256]	112	4
[28 -140 704]	112	28
[28 -196 1376]	112	0
[14 -28 64]	112	0
[8 12 32]	112	104
[16 -84 448]	112	4
[2 3 64]	119	-81
[30 -451 6784]	119	81
[20 -61 192]	119	6
[90 221 544]	119	-13
[12 -61 320]	119	6
[12 -125 1312]	119	13
[2 2 64]	124	-144
[62 -434 3040]	124	-98
[4 2 32]	124	-144
[16 -226 3200]	124	0
[8 34 160]	124	-80
[28 -94 320]	124	-16
[10 14 32]	124	-98
[14 -158 1792]	124	-80
[2 1 64]	127	-127
[4 1 32]	127	-127
[2 0 64]	128	0
[2 8 96]	128	-160
[2 16 192]	128	0
[4 0 32]	128	0
[4 16 96]	128	84
[6 8 32]	128	-160
[22 -112 576]	128	-84
[22 -288 3776]	128	4
[18 -256 3648]	128	0
[12 16 32]	128	0
[12 -64 352]	128	-4
[68 -885 11520]	135	185
[34 -171 864]	135	91
[24 -267 2976]	135	30
[8 11 32]	135	185
[72 -793 8736]	143	-239
[42 121 352]	143	58
[6 7 32]	143	-239
[6 25 128]	143	-34
[18 -199 2208]	143	-34
[12 -25 64]	143	-58
[76 -685 6176]	151	138
[38 -115 352]	151	100
[8 19 64]	151	-100
[10 13 32]	151	-138
[78 -234 704]	156	-400
[78 -390 1952]	156	237
[40 -202 1024]	156	272
[40 -522 6816]	156	-32
[6 6 32]	156	-237
[8 10 32]	156	400
[10 22 64]	156	-32
[80 -561 3936]	159	28
[46 -143 448]	159	-129
[28 -143 736]	159	-129
[12 15 32]	159	28
[84 -421 2112]	167	-106
[42 -379 3424]	167	167
[28 -421 6336]	167	-106
[14 -197 2784]	167	-167
[16 -37 96]	167	1
[88 -265 800]	175	-865
[4 9 64]	175	-335
[8 9 32]	175	865
[2 4 96]	176	544
[90 268 800]	176	-680
[30 -92 288]	176	32
[30 -332 3680]	176	32
[30 -452 6816]	176	-544
[10 12 32]	176	-680
[18 -92 480]	176	32
[2 3 96]	183	693
[6 3 32]	183	693
[38 -125 416]	183	5
[16 -227 3232]	183	258
[2 2 96]	188	518
[94 -658 4608]	188	608
[48 -146 448]	188	496
[48 -530 5856]	188	-16
[6 2 32]	188	518
[6 14 64]	188	-16
[142 350 864]	188	-82
[8 18 64]	188	-496
[12 14 32]	188	608
[14 34 96]	188	82
[2 1 96]	191	203
[6 1 32]	191	203
[32 -417 5440]	191	-30
[8 33 160]	191	-314
[20 -223 2496]	191	-314
[18 -95 512]	191	30
[18 -257 3680]	191	-280
[2 0 96]	192	0
[2 8 128]	192	832
[2 16 224]	192	0
[4 8 64]	192	48
[52 152 448]	192	240
[6 0 32]	192	0
[6 24 128]	192	168
[8 8 32]	192	832
[24 -120 608]	192	-168
[12 24 64]	192	240
[14 16 32]	192	0
[100 -1301 16928]	199	-1247
[50 -651 8480]	199	321
[10 11 32]	199	-1247
[10 21 64]	199	321
[104 -1145 12608]	207	319
[478 1113 2592]	207	-193
[26 -391 5888]	207	-319
[108 -973 8768]	215	-159
[54 -595 6560]	215	364
[36 -397 4384]	215	-259
[6 13 64]	215	364
[12 13 32]	215	159
[110 -330 992]	220	1065
[110 -550 2752]	220	80
[4 6 64]	220	-496
[56 -506 4576]	220	544
[28 -422 6368]	220	80
[10 10 32]	220	-1065
[170 390 896]	220	544
[112 -785 5504]	223	1632
[4 17 128]	223	-427
[8 17 64]	223	-427
[14 15 32]	223	1632
[116 -581 2912]	231	967
[4 5 64]	231	-561
[40 -123 384]	231	299
[30 -453 6848]	231	967
[24 -123 640]	231	299
[120 -361 1088]	239	1895
[248 617 1536]	239	576
[48 -151 480]	239	-333
[30 -151 768]	239	-333
[24 -361 5440]	239	1895
[198 457 1056]	239	576
[2 4 128]	240	-1976
[122 364 1088]	240	456
[4 4 64]	240	1012
[60 -180 544]	240	-1384
[60 -300 1504]	240	-1840
[6 12 64]	240	1840
[8 4 32]	240	-1976
[32 -356 3968]	240	-68
[10 20 64]	240	1384
[12 12 32]	240	456
[16 -36 96]	240	240
[16 -228 3264]	240	556
[2 3 128]	247	-2339
[62 -931 13984]	247	-2104
[8 3 32]	247	-2339
[2 2 128]	252	-1760
[126 -882 6176]	252	151
[4 2 64]	252	800
[42 -126 384]	252	144
[42 -210 1056]	252	1740
[8 2 32]	252	-1760
[24 -126 672]	252	144
[14 14 32]	252	151
[18 -258 3712]	252	-256
[2 1 128]	255	-474
[4 1 64]	255	-727
[44 -575 7520]	255	680
[8 1 32]	255	-474
[14 33 96]	255	680
[2 0 128]	256	0
[2 8 160]	256	-1920
[4 0 64]	256	0
[4 16 128]	256	352
[8 0 32]	256	0
[8 16 64]	256	352
[8 32 160]	256	-272
[26 -288 3200]	256	-272
[26 -392 5920]	256	1920
[16 16 32]	256	0
[20 -288 4160]	256	0
[132 -1717 22336]	263	2916
[66 -331 1664]	263	-2027
[408 949 2208]	263	-2027
[22 -331 4992]	263	-2916
[136 -1497 16480]	271	500
[74 217 640]	271	878
[28 -423 6400]	271	-500
[212 487 1120]	271	-878
[140 -1261 11360]	279	-841
[70 -211 640]	279	-460
[268 621 1440]	279	-460
[20 -301 4544]	279	-841
[142 -426 1280]	284	-880
[142 -710 3552]	284	-2203
[72 -362 1824]	284	320
[72 -938 12224]	284	-2096
[450 1046 2432]	284	320
[6 26 160]	284	-1235
[58 -182 576]	284	-32
[36 -182 928]	284	-32
[30 -154 800]	284	1235
[30 -454 6880]	284	-2203
[24 -362 5472]	284	-880
[240 554 1280]	284	2096
[78 -239 736]	287	1439
[48 -241 1216]	287	2964
[338 785 1824]	287	1439
[18 -271 4096]	287	7152
[148 -741 3712]	295	-3320
[38 -421 4672]	295	1025
[10 5 32]	295	3320
[226 517 1184]	295	1605
[152 -457 1376]	303	359
[4 9 96]	303	-497
[6 9 64]	303	-497
[26 -393 5952]	303	359
[2 4 160]	304	3016
[154 460 1376]	304	6304
[10 4 32]	304	3016
[22 -332 5024]	304	-6304
[2 3 160]	311	3373
[52 -157 480]	311	-1330
[10 3 32]	311	3373
[12 29 96]	311	1330
[16 35 96]	311	-2696
[240 547 1248]	311	-2854
[2 2 160]	316	5130
[80 -242 736]	316	1040
[80 -882 9728]	316	-5600
[380 882 2048]	316	5600
[10 2 32]	316	5130
[310 718 1664]	316	1040
[20 -302 4576]	316	9424
[2 1 160]	319	2872
[50 -159 512]	319	-735
[10 1 32]	319	2872
[32 -353 3904]	319	735
[20 -289 4192]	319	-3897
[2 0 160]	320	0
[2 8 192]	320	1200
[4 8 96]	320	2504
[84 248 736]	320	1304
[6 8 64]	320	2504
[54 -272 1376]	320	320
[54 -704 9184]	320	1920
[10 0 32]	320	0
[28 -424 6432]	320	-1200
[14 32 96]	320	1920
[254 584 1344]	320	-1304
[18 -272 4128]	320	0
[164 -2133 27744]	327	1060
[82 -1067 13888]	327	1203
[56 -619 6848]	327	939
[42 -213 1088]	327	-939
[282 651 1504]	327	-1203
[24 -363 5504]	327	-1060
[168 -1849 20352]	335	-295
[766 1785 4160]	335	-1947
[6 7 64]	335	1947
[6 25 160]	335	-230
[36 -185 960]	335	230
[30 -455 6912]	335	295
[86 -947 10432]	343	-4975
[422 979 2272]	343	4975
[22 -333 5056]	343	2884
[174 -522 1568]	348	-703
[174 -870 4352]	348	816
[4 6 96]	348	-3488
[6 6 64]	348	-3488
[44 -486 5376]	348	112
[12 6 32]	348	-816
[26 -394 5984]	348	-703
[268 614 1408]	348	-16
[4 17 160]	351	3821
[60 -303 1536]	351	-564
[352 815 1888]	351	-3821
[20 -303 4608]	351	-5272
[180 -901 4512]	359	5126
[4 5 96]	359	-6279
[60 -901 13536]	359	6279
[12 5 32]	359	-5126
[184 -553 1664]	367	-3695
[376 937 2336]	367	5307
[28 -425 6464]	367	-3695
[296 681 1568]	367	5307
[2 4 192]	368	-3768
[4 4 96]	368	-2672
[92 -276 832]	368	-2380
[92 -460 2304]	368	1388
[62 -188 576]	368	-4368
[62 -684 7552]	368	6832
[62 -932 14016]	368	2672
[8 12 64]	368	-1388
[48 -244 1248]	368	-6832
[12 4 32]	368	-3768
[12 28 96]	368	4368
[324 748 1728]	368	-2380
[24 -364 5536]	368	16440
[282 644 1472]	368	-1096
[2 3 192]	375	-227
[94 -1411 21184]	375	510
[6 3 64]	375	-510
[12 3 32]	375	-227
[2 2 192]	380	-6208
[4 2 96]	380	-4208
[6 2 64]	380	-4208
[6 14 96]	380	-8351
[60 -190 608]	380	-4512
[38 -190 960]	380	-4512
[12 2 32]	380	-6208
[16 34 96]	380	-6784
[22 -334 5088]	380	-23357
[20 30 64]	380	-2480
[2 1 192]	383	-3551
[4 1 96]	383	-5365
[6 1 64]	383	-5365
[64 -833 10848]	383	-2748
[12 1 32]	383	-3551
[14 31 96]	383	-2748
[2 0 192]	384	0
[2 8 224]	384	192
[4 0 96]	384	0
[4 16 160]	384	8992
[6 0 64]	384	0
[6 24 160]	384	1120
[10 24 96]	384	1120
[394 912 2112]	384	-8992
[12 0 32]	384	0
[30 -456 6944]	384	-192
[20 -304 4640]	384	0
[22 32 64]	384	0
[98 -491 2464]	391	3559
[8 11 64]	391	-3559
[26 -395 6016]	391	14000
[200 -2201 24224]	399	-1765
[50 -551 6080]	399	-7048
[14 7 32]	399	-1765
[310 711 1632]	399	-7323
[102 -307 928]	407	4171
[68 -749 8256]	407	11867
[6 13 96]	407	-12317
[8 19 96]	407	11867
[366 845 1952]	407	4171
[24 -365 5568]	407	-3326
[206 -1030 5152]	412	14641
[104 -522 2624]	412	6224
[104 -1354 17632]	412	-4640
[8 10 64]	412	-6224
[14 6 32]	412	-14641
[338 778 1792]	412	4640
[28 -426 6496]	412	4016
[110 -335 1024]	415	-7194
[10 15 64]	415	7194
[22 -335 5120]	415	-25514
[212 -1061 5312]	423	5230
[72 -219 672]	423	2901
[12 27 96]	423	-2901
[14 5 32]	423	-5230
[18 27 64]	423	-2483
[4 9 128]	431	-2663
[80 -247 768]	431	4011
[8 9 64]	431	-2663
[10 23 96]	431	-4011
[30 -457 6976]	431	-4537
[2 4 224]	432	2656
[6 12 96]	432	-96
[14 4 32]	432	2656
[26 -396 6048]	432	-4864
[2 3 224]	439	-9748
[70 -221 704]	439	-2056
[44 -221 1120]	439	-2056
[14 3 32]	439	-9748
[20 29 64]	439	-2608
[2 2 224]	444	-5435
[112 -338 1024]	444	5344
[112 -1234 13600]	444	8240
[74 -222 672]	444	8249
[74 -370 1856]	444	-5968
[8 18 96]	444	5968
[10 14 64]	444	8240
[12 18 64]	444	-5344
[14 2 32]	444	-5435
[14 30 96]	444	-8249
[24 -366 5600]	444	1520
[2 1 224]	447	-11704
[14 1 32]	447	-11704
[16 33 96]	447	4609
[22 31 64]	447	1930
[2 0 224]	448	0
[4 8 128]	448	3648
[8 8 64]	448	3648
[56 -280 1408]	448	12480
[14 0 32]	448	0
[16 8 32]	448	13312
[16 24 64]	448	6720
[22 -336 5152]	448	0
[114 -1483 19296]	455	-4428
[696 1621 3776]	455	-1703
[14 21 64]	455	-4428
[28 -427 6528]	455	-8857
[1054 2457 5728]	463	-8055
[58 -871 13088]	463	-8055
[16 7 32]	463	-4141
[118 -1299 14304]	471	11292
[10 13 64]	471	11292
[26 -397 6080]	471	-2896
[4 6 128]	476	11248
[738 1718 4000]	476	14502
[6 26 192]	476	-7600
[90 -278 864]	476	15174
[60 -902 13568]	476	-11248
[10 22 96]	476	-15174
[12 26 96]	476	-7600
[16 6 32]	476	25872
[18 26 64]	476	-4256
[30 -458 7008]	476	-11238
[4 17 192]	479	-7733
[80 -401 2016]	479	-5695
[8 17 96]	479	5695
[12 17 64]	479	-7733
[24 -367 5632]	479	47393
[4 5 128]	487	16300
[62 -933 14048]	487	-16300
[16 5 32]	487	37195
[6 9 96]	495	-11427
[62 -311 1568]	495	10395
[16 23 64]	495	21637
[18 9 32]	495	1685
[4 4 128]	496	11864
[124 -372 1120]	496	11216
[124 -620 3104]	496	-6112
[8 4 64]	496	11864
[64 -708 7840]	496	-2848
[10 12 64]	496	6112
[50 -252 1280]	496	2848
[14 20 64]	496	-11216
[16 4 32]	496	23216
[20 28 64]	496	-5464
[28 -428 6560]	496	-17328

A Borcherds Product in S9(K(16))−

A Borcherds Product in S₉(K(16))⁻